Описание слайда:

Преподаватель:Преподаватель: Филипенко Николай МаксимовичФилипенко Николай Максимович доцент кафедры доцент кафедры Высшей математики и математической физики ТПУВысшей математики и математической физики ТПУ

Описание слайда:

Описание слайда:

http://mph.phtd.tpu.ruhttp://mph.phtd.tpu.ru ИлиИли http://mph.phtd.tpu.ruhttp://mph.phtd.tpu.ru /methmat.php/methmat.php

Описание слайда:

Учебно-методическое обеспечение дисциплины Основная литература 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1. - М.: Наука, 1985. - 429с. 2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1985 3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980. 4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1998. 5. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1986. 6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985. Дополнительная литература ( Задачники с решениями). 1.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. -Харьков: ХТУ, 1974.-ч.1 2. Сборник задач по курсу высшей математики( под ред. Г.Н. Кручковича ), М. Наука, 1973г. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. –М. : ВШ, 1980.-ч.1 4. Терехина Л.И., Фикс И.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 2008 , 2009, … .

Описание слайда:

№ Темы Трудоёмко сть в часах Ауд / сам Промежуточный контроль работы студента Рейтинг промежут очного контроля Рейтинг темы (баллы) 1 Линейная алгебра 24/22 ИДЗ-1 2 7 1. контрольная работа 5 2 Векторная алгебра 14/12 ИДЗ-2 2 7 2.контрольная работа 5 3 Аналитическая геометрия 26/22 ИДЗ-3,4 4 10 3.контрольная работа 6 Коллоквиум 6 30 4 Введение в анализ 2 2 /16 ИДЗ-5 2 94. контрольная работа 7 5 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 24/2 2 ИДЗ-6,7 4 12 5. контрольная работа 8 6 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 18/18 ИДЗ-8 2 9 6. контрольная работа 7 ВСЕГО Допуск к экзамену 33 балла 60 Экзамен 40 100 Рейтинг - лист

Описание слайда:

• Матрицы, действия над ними. • Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными: Решением такой системы называется пара значений: подстановка которых вместо x 1 и x 2 обращает оба уравнения в тождества. Видно, что решение зависит от знаменателя. Если он неравен 0, то мы получим единственное решение для x 1 и x 2 . Знаменатель получаем в результате действий с коэффициентами при неизвестных, из которых можно составить таблицу: Если мы будем иметь более сложную систему уравнений, с большим количеством неизвестных и уравнений, то. 12 21 22 11 21 1 12 2 2 , 12 21 22 11 12 2 22 1 1 a a a a a b a b x a a a a a b a b x               22 21 12 11 a a a a         2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a       11 21 12 22 a a a a

Описание слайда:

система линейных уравнений имеет вид: Таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей. Определение: матрицей размером m на n называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, состоящая из m строк и n столбцов. Для данной системы основная матрица: обозначается большой буквой A. Числа , образующие матрицу, называются элементами матрицы. Частные виды матриц: строка, столбец, квадратная, диагональная, единичная, треугольная, ступенчатая и др .                  m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ... . .......... .......... .......... .......... ... ... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11              mn m m n n a a a a a a a a a A ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 ija

Описание слайда:

Описание слайда:

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ • Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида: • Матрицей размером m на n называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, состоящая из m строк и n столбцов. • Для данной системы основная матрица обозначается большой буквой A. Числа , образующие матрицу, называются элементами матрицы.       .... ........................................... ,... ,... 211 22222121 11212111 2 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa               mn m m n n a a a a a a a a a A .... ........ .......... .... .... 2 1 2 22 21 1 12 11 ij a . : виде в записать можно систему форме матричной В B AX 

Описание слайда:

В этой же системе можно выписать в виде матрицы столбец свободных членов             4 6 1 B Матрица - столбец размера (3х1) Можно записать матрицу-строку  1 5 4 2    C , размер матрицы (1х4) Например, система из трех уравнений с тремя неизвестными и ее основная матрица                  4 7 4 6 2 3 1 5 4 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x               1 7 4 2 1 3 5 4 2 A Квадратная матрица размера (3х3) или матрица 3-го порядка В квадратных матрицах можно выделить главную и побочную диагонали              1 7 4 2 1 3 5 4 2 главная побочная

Описание слайда:

Суммой - матриц A и B называется матрица C размера , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и : ,( ). Произведением матрицы A на число называется матрица B , которая получается из матрицы A умножением всех элементов на : . Например: Умножение матриц возможно, если число столбцов n матрицы A равно числу столбцов n матрицы B . Правило умножения: При умножении матриц каждый элемент матрицы произведения находится как сумма произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы. Например: A B    m n  A B c a b ij ij ij  i m  12, , , ;  j n  12, , ,   A   b a ij ij                                       3 7 2 6 5 2 2 5 4 2 3 3 5 2 4 3 2 5 2 3 B A                                    4 10 4 6 2 2 5 2 2 2 3 2 2 5 2 3 2 2 A                                                        10 11 2 5 5 2 4 5 2 2 3 5 5 2 4 3 2 2 3 3 5 2 4 3 2 5 2 3 B A

Описание слайда:

Описание слайда:

Для квадратных матриц можно вычислить определитель. Определитель квадратной матрицы есть некоторое число, которое вычисляется по элементам матрицы согласно правилу, которое будет сформулировано после введения понятий миноров и алгебраических дополнений элементов определителя. 74 42 174 213 542 23     M1 7 2 1 1 7 4 2 1 3 5 4 2 11       M 11 11 1 1 11 1 7 2 1 )1 ( M M A        23 23 3 2 23 7 4 4 2 )1 ( M M A          Минором элемента определителя называется определитель, полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-), если эта сумма – нечетная.

Описание слайда:

11 11 1 a a    ,2 2 1    7 7 1      c b d a d c b a       2221210)12(104)3(52 54 32 2   48642)3()2(7)6( 73 26 2     1. Определитель 1-го порядка равен самому элементу Например: 2. Определитель 2-го порядка находится по правилу Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали. Например: Вычисление определителей

Описание слайда:

Определитель 3-го порядка.. 11 23 32 33 12 21 13 22 31 31 23 12 13 32 21 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a          " " 33 32 31 23 22 21 13 12 11            a a a a a a a a a " " 33 32 31 23 22 21 13 12 11            a a a a a a a a a . .77603418410543 )1(13)2(21)2(33141)1(25 131 423 215   

Описание слайда:

Определитель 3-го можно найти путем разложения определителя по элементам строки или столбца. При этом используется Основное правило вычисления определителя : Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения32 31 22 21 3 1 13 33 31 23 21 2 1 12 33 32 23 22 1 1 11 13 13 12 12 11 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 )1 ( )1 ( )1 ( a a a a a a a a a a a a a a a A a A a A a a a a a a a a a a                       Например, разложение определителя по элементам 1-ой строки будет иметь видм а мм ма  а а  а м ма м а ам  м м мм а а аа а а ам ам аа аа  м а м мм ма а ам аа 1а 2 1а 2 1а 2 я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я я й с й е й с й е й с й о о й е й е й о е е е

Описание слайда:

Теорема Лапласа . Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения .

Описание слайда:

Пример вычисления определителя путем разложения по элементам первой строки:134 34 152 16 ) 12 5 ( 2 )8 30( 4 ) 2 18( ) 4 3 )1 ( 5( 2 )4 )2 ( 6 5( 4 ))1 ( )2 ( 6 3( 1 4 3 5 )1 ( 2 6 4 2 5 )1 ( ) 4 ( 6 1 2 3 )1 ( 1 6 1 4 2 3 5 2 4 1 312111                                                       Наиболее простым, очевидно, является разложение определителя по элементам того ряда, в котором все элементы, кроме одного, равны нулю 3 1 3 ) 8 7 ( 3 ) 4 ) 2 ( 7 )1 (( 3 0 0 7 2 4 1 )1 ( 3 7 2 6 0 0 3 4 1 5 1 2                                Например, следующий определитель наиболее просто разложить по элементам 2-й строки

Описание слайда:

2. Свойства определителей 1) При транспонировании матрицы её определитель не меняется . 2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак. 3) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя . 4) Если все элементы k -й строки определителя | A| являются суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей | A 1 | и | A 2 | , у которых все строки, кроме k -й, совпадают со строками определителя | A| , k -я строка в определителе | A 1 | состоит из первых слагаемых, а в определителе | A 2 | – из вторых слагаемых .

Описание слайда:

5) Определитель равен нулю если : а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей ; б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца); в) он имеет хотя бы две пропорциональные (т.е. отличающиеся множителем) строки (столбца); г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов). ( kji k ji ji ji a a a a            2 1 2 1 , n j , 1  ) j i k j i j i ij k a a a a            2 1 2 1 , n j , 1 

Описание слайда:

• 6) Определитель не изменится, если к каждому элементу i -й строки (столбца) прибавить соответствующий элемент k -й строки (столбца), умноженный на число α  0 .

Описание слайда:

Согласно свойству определителей: Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, предварительно умноженные на число.1 ) 1702 1701( )) 37 ( ) 46 ( ) 27 ( 63 ( 27 37 46 63 ) 1 ( ) 1 ( 27 37 0 46 63 0 9 10 1 18 45 13 50 5 5 17 63 7 70 7 7 9 10 1 18 13 5 17 7 7 9 10 1 ) 1 ( 1 18 13 5 0 17 7 7 0 9 10 1 0 4 3 2 1 2 16 1 12 3 8 4 4 5 12 2 9 1 6 3 3 1 8 4 6 3 4 2 2 4 3 2 1 2 1 3 4 5 2 1 3 1 4 3 2 4 3 2 1 2 2                                                                                    

Описание слайда:

§ Обратная матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A -1 , такая, что A·A -1 =A -1 · A=E . СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1) Если матрица A имеет обратную, то A и A -1 – квадратные матрицы одного порядка. 2) Если обратная матрица существует, то она единственная. 3) Если матрица A имеет обратную, то определитель матрицы A отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной .

Описание слайда:

ТЕОРЕМА. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель | A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A -1 может быть найдена по формуле: T S A A    1 1 где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A , т.е.      nnnn nn AAA AAA AAA    21 22221 11211 S Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A . T S s

Описание слайда:

* A T A * T A *Схема нахождения обратной матрицы • 1) Находится определитель матрицы. Если он отличен от нуля , то обратная матрица существует. • 2) Составляется союзная матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. • 3) Полученную союзную матрицу транспонируем, т.е. меняем ролями строки и столбцы матрицы. Получаем матрицу . • 4) Матрицу делим на определитель матрицы и получаем обратную матрицу. (При делении матрицы на число все ее элементы нужно разделить на это число) 0 det  A Рассмотрим примеры. 1. Найти матрицу, обратную данной 22 4 )3 ( 5 2 5 4 3 2 det         A         5 4 3 2 A         2 3 4 5 * A         2 4 3 5 *T A          2 4 3 5 22 1 1 A 1) 2) 3) 4) T A A A * 1 det 1   

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы 2. Найти матрицу, обратную данной             1 1 4 2 1 3 5 4 2 A 1) Находим определитель матрицы 2) Составляем союзную матрицу Т.о. обратная матрица существует. 0 55 )1 3 18( 3 1 1 18 )1 ( 1 1 1 4 3 0 1 1 0 18 1 1 4 2 1 3 5 4 2 2 3                     3 2 1 1 1 2 1 )1 ( 2 11          A 11 )8 3( 1 4 2 3 )1 ( 3 12          A 1 4 3 1 4 1 3 )1 ( 4 13          A 1 )5 4( 1 1 5 4 )1 ( 3 21        A 22 20 2 1 4 5 2 )1 ( 4 22        A 18 ) 16 2( 1 4 4 2 )1 ( 5 23          A 13 5 8 2 1 5 4 )1 ( 4 31        A 11 ) 15 4( 2 3 5 2 )1 ( 5 32        A 14 12 2 1 3 4 2 )1 ( 6 33          A                 14 11 13 18 22 1 1 11 3 *A 3) Полученную матрицу транспонируем                 14 18 1 11 22 11 13 1 3 *T A 4) Обратная матрица                   14 18 1 11 22 11 13 1 3 55 1 1 A

Описание слайда:

Матричные уравненияB X A   Матричные уравнения – это уравнения, в которых участвуют как известные матрицы, так и неизвестная матрица, которую и нужно найти. Существуют два основных типа матричных уравнений. B X A   B A X A A       1 1 B A X E    1 B A X   1 BAX  1 1       A B A A X 1    A B E X 1   A B X1 тип (левое умножение) 2 тип (правое умножение) В виде матричного уравнения может быть записана система линейных уравнений, решение которой существует, если определитель основной матрицы отличен от нуля. B A X   1 Если в системе количество уравнений и неизвестных разное, то нельзя говорить об определителе основной матрицы и решать систему матричным методом нельзя. Для решения таких систем применяется метод Гаусса

Описание слайда:

Описание слайда: