Симплекс-метод

Презентация Симплекс-метод. Доклад-презентация на заданную тему выполнена в программе PowerPoint и содержит 40 слайдов. Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам. Если презентация оказалась полезной для Вас - поделитесь ссылкой с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки вашего браузера!
Презентации » Математика » Симплекс-метод
Презентация Симплекс-метод. Доклад-презентация на заданную тему выполнена в программе PowerPoint и содержит 40 слайдов. Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам. Если презентация оказалась полезной для Вас - поделитесь ссылкой с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки вашего браузера!

Слайды презентации Открыть в PDF

Слайд 1

Симплекс-метод
Описание слайда:

Симплекс-метод  Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 году, однако еще в 1939 году идеи метода были разработаны российским ученым А.В. Канторовичем.  СМ решения задачи ЛП основан на переходе от одного допустимого решения к другому, при котором значение ЦФ возрастает.  Указанный переход возможен, если известно какое-нибудь допустимое решение.


Слайд 2

 Из линейной алгебры известно:  Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них
Описание слайда:

 Из линейной алгебры известно:  Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них нельзя получить из других путем умножения на какие-то коэффициенты и суммирования, т.е. никакое из них не является следствием остальных.  В линейной алгебре доказывается, что максимальное число линейно независимых равенств, связывающих n переменных x 1 … x n , равно n .  В линейной алгебре доказывается, что систему из r независимых равенств с n переменными всегда можно разрешить относительно каких-то r переменных (называемых базовыми) и выразить через них остальные n - r переменных (называемых свободными). Свободным переменным можно придавать какие угодно значения.  Теорема1 Любому допустимому решению задачи ЛП соответствует по крайней мере хотя бы одна угловая точка многоугольника решений, и наоборот, любой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.


Слайд 3

 Для реализации СМ необходимо 3 основных момента:  Необходимо отыскать способ отыскания исходного
Описание слайда:

 Для реализации СМ необходимо 3 основных момента:  Необходимо отыскать способ отыскания исходного допустимого решения.  Должен быть описан механизм перехода от одного допустимого решения к другому (к другой вершине многоугольника).  Должен быть сформулирован критерий, с помощью которого можно проверить на оптимальность: остановить процесс поиска или идти дальше.


Слайд 4

 Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме    n j j j
Описание слайда:

 Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме    n j j j x c F 1              n j x j m i b i x j a ij n j , 1 , 0 , 1 , 1  при выполнении условий: max


Слайд 5

Алгоритм решения задачи : 1. Стандартная задача ЛП сводится к основной задаче . F
Описание слайда:

Алгоритм решения задачи : 1. Стандартная задача ЛП сводится к основной задаче . F = c 1 x 1 +…+ c n x n  max a 11 x 1 +…+a 1n x n +x n+1 =b 1 a 11 x 1 +…+a 1n x n +x n+2 =b 2 … . a m1 x 1 +…+a mn x n + x n+m =b m x j  0 j=1,n


Слайд 6

2. Определяется начальное допустимое решение Для этого запишем систему ограничений в векторной форме x
Описание слайда:

2. Определяется начальное допустимое решение Для этого запишем систему ограничений в векторной форме x 1 A 1 + x 2 A 2 +… + x n A n +x n+1 A n+1 +…+ x n+m A n+m =A 0 , где               1 21 11 1 ... m a a a A                mn n n n a a a A ... ... 2 1                 0 ... 0 1 1 n A       1 ... 00 ... mnA                m b b b A ... 2 1 0 A n +1 … A n + m – линейно-независимые векторы m – мерного пространства первоначальное допустимое решение: x 0 =(0,…0, b 1 … b m ).


Слайд 7

3. По данным задачи составляется симплекс-таблица: i Базис C  A 0 C 1
Описание слайда:

3. По данным задачи составляется симплекс-таблица: i Базис C  A 0 C 1 C 2 … C n C n+1 … C n+m A 1 A 2 … A n A n+1 … A n+m 1 A n+1 0 b 1 a 11 a 12 … a 1n 1 … 0 2 A n+2 0 b 2 a 21 a 22 … a 2n 0 … 0 … … … … … … … … … … … m A n+m 0 b m a m1 a m2 … a mn 0 … 1 m+1 F 0 1  2 …  n 0 … 0


Слайд 8

В (m+1) –й строке в столбцах векторов A j записываются значения ∆ j =)
Описание слайда:

В (m+1) –й строке в столбцах векторов A j записываются значения ∆ j =) , 1 ( 1     m i j ij i n j c a c с i a ij - значение целевой функции, если вместо неизвестных подставить коэффициенты разложения j – го вектора по векторам базиса. Δ - называют оценками плана. Значение F 0 равно скалярному произведению вектора А 0 на вектор C ∆ F 0 =   m i i ib c 1


Слайд 9

4. Полученное допустимое решение проверяется на оптимальность ( в случае максимизации).  Используются теоремы:
Описание слайда:

4. Полученное допустимое решение проверяется на оптимальность ( в случае максимизации).  Используются теоремы:  Теорема2 Если для некоторого опорного плана x* выполняются неравенства Δ j ≥0, то этот план оптимальный .  Теорема 3 Если для опорного плана Х задачи ЛП существует хотя бы один элемент j , для которого Δ j < 0 и среди коэффициентов разложения j-го вектора есть хотя бы один а ij >0, то существует такой опорный план Х’, для которого F(x’)> F ( x ).  Если хотя бы для одной отрицательной оценки ∆ j < 0. коэффициенты разложения a ij соответствующего вектора неположительные, то линейная функция не ограничена на многограннике решений, и следовательно, задача не имеет решения.


Слайд 10

 Наличие оптимальности проверяется по следующему признаку:  Согласно теорем выясняется, имеется ли хотя
Описание слайда:

 Наличие оптимальности проверяется по следующему признаку:  Согласно теорем выясняется, имеется ли хотя бы одно отрицательное ∆ j (ЦФ исследуется на максимум) . Если нет, то найденное решение является оптимальным.  Если же среди чисел ∆ j имеются отрицательные, то либо устанавливается неразрешимость задачи, либо переходят к новому допустимому решению.


Слайд 11

 В случае исследования целевой функции на минимум допустимое решение является оптимальным, если все
Описание слайда:

 В случае исследования целевой функции на минимум допустимое решение является оптимальным, если все разности ∆ j ≤ 0 . Если хотя бы одно ∆ j >0 , тогда в базис включается вектор, соответствующий этой оценке, и вычисляется новое допустимое решение, при котором линейная целевая функция будет принимать меньшее значение.  Если положительных элементов в последней строке симплекс-таблицы, несколько, то в базис должен быть включен вектор, которому соответствует максимальный положительный ∆ j .> 0.  Если имеется несколько одинаковых максимальных значений ∆ j , то из соответствующих им векторов включается в базис вектор, которому соответствует минимальное С j .  Если хотя бы для одной положительной оценки ∆ j > 0. коэффициенты разложения a ij соответствующего вектора неположительные, то линейная функция не ограничена на многограннике решений, и следовательно, задача не имеет решения.


Слайд 12

5. Находится направляющий столбец и направляющая строка.  Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной
Описание слайда:

5. Находится направляющий столбец и направляющая строка.  Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом ∆ j , а направляющая строка – минимальным отношением компонент столбца вектора А 0 к положительным компонентам направляющего столбца  Выбор максимального по модулю отрицательного элемента ∆ j означает включение в базис переменной, увеличение которой приводит к максимальному росту ЦФ


Слайд 13

6. Определяются положительные компоненты нового допустимого решения и коэффициенты разложения векторов A j по
Описание слайда:

6. Определяются положительные компоненты нового допустимого решения и коэффициенты разложения векторов A j по векторам нового базиса и числа F 0 ∆ j по следующим формулам:        r i при a b r i при a a b b b rk r ik rk r i i / , ) / (          r i при a a r i при a a a a a rk rj ik rk rj ij rj / , ) / ( где k – номер направляющего столбца (вектор A k вводится в базис), r – номер направляющей строки (A r исключается из базиса).


Слайд 14

Полученные данные записываются в новую симплекс– таблицу: i Базис C  A 0 C
Описание слайда:

Полученные данные записываются в новую симплекс– таблицу: i Базис C  A 0 C 1 C 2 … C n C n+1 … C n+m A 1 A 2 … A n A n+1 … A n+m 1 A n+1 0 b 1 ’ a 11 ’ a 12 ’ … a 1n ’ 1 … 0 2 A n+2 0 b 2 ’ a 21 ’ a 22 ’ … a 2n ’ 0 … 0 … … … … … … … … … … … m A n+m 0 b m ’ a m1 ’ a m2 ’ … a mn ’ 0 … 1 m+1 F 0 ’ 1 ’  2 ’ …  n ’ 0 … 0


Слайд 15

7. Проверяют найденное допустимое решение на оптимальность Если решение не является оптимальным то возвращаются
Описание слайда:

7. Проверяют найденное допустимое решение на оптимальность Если решение не является оптимальным то возвращаются к п.5 , если оптимальное или установлена неразрешимость задачи процесс решения заканчивается.


Слайд 16

Пример Для изготовления изделий A , B и C предприятие использует три вида сырья.
Описание слайда:

Пример Для изготовления изделий A , B и C предприятие использует три вида сырья. Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной Вид Сырья Нормы затрат сырья на одно изделие (кг) Общее Количество сырья (кг) A B C I 18 15 12 360 II 6 4 8 192 III 5 3 3 180 Цена одного Изделия (руб.) 9 10 16


Слайд 17

Составим математическую модель задачи.          
Описание слайда:

Составим математическую модель задачи.                       0 , 0 , 0 180 3 3 5 192 8 4 6 360 12 15 18 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x F 16 10 9 3 2 1    max


Слайд 18

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования.     
Описание слайда:

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования.                    180 3 3 5 192 8 4 6 360 12 15 18 6 3 2 1 5 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x


Слайд 19

Полученную систему уравнений запишем в векторной форме:. 180 192 360 ; 1 0 0
Описание слайда:

Полученную систему уравнений запишем в векторной форме:. 180 192 360 ; 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 ; 3 8 12 ; 3 4 15 ; 5 6 18 0 6 5 4 3 2 1 0 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 где ,                                                                                                  A A A A A A A A A x A x A x A x A x A x


Слайд 20

 Среди векторов имеются три единичных вектора , которые образуют базис трехмерного векторного пространства.
Описание слайда:

 Среди векторов имеются три единичных вектора , которые образуют базис трехмерного векторного пространства. A A A 6 5 4 , ,        180 , 192 , 360 , 0 , 0 , 0 1 X Исходное решение задачи


Слайд 21

Составим первую симплексную таблицу и проверим исходное решение на оптимальность. i Бази с C
Описание слайда:

Составим первую симплексную таблицу и проверим исходное решение на оптимальность. i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 360 18 15 12 1 0 0 2 A 5 0 192 6 4 8 0 1 0 3 A 6 0 180 5 3 3 0 0 1 4 0 -9 -10 -16 0 0 0


Слайд 22

Значения, стоящие в четвертой строке симплексной таблицы вычисляются следующим образом: 16163080120, 10103040150, 9 95060180
Описание слайда:

Значения, стоящие в четвертой строке симплексной таблицы вычисляются следующим образом: 16163080120, 10103040150, 9 95060180 , 0180019203600 , 33 3 22 2 11 1 0 0                               cAc cAc cAc Ac F


Слайд 23

Исходное решение не является оптимальным, т.к. в 4-й строке таблицы имеются три отрицательных числа:
Описание слайда:

Исходное решение не является оптимальным, т.к. в 4-й строке таблицы имеются три отрицательных числа: -9, -10, -16 . В базис будем вводить вектор A 3 , т.к. максимальное по абсолютной величине отрицательное число (-16) стоит в 4-й строке этого вектора . Определим вектор, исключаемый из базиса.     . 8 192 3 180 ; 8 192 ; 12 360 , 0 min т.е. для min 3 3   a a b i i i Следовательно, вектор A 5 исключается из базиса .


Слайд 24

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A
Описание слайда:

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 360 18 15 12 1 0 0 2 A 5 0 192 6 4 8 0 1 0 3 A 6 0 180 5 3 3 0 0 1 4 0 -9 -10 -16 0 0 0


Слайд 25

Составим новую симплексную таблицу: i Бази с C  A 0 9 10 16
Описание слайда:

Составим новую симплексную таблицу: i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 1 0 2 A 3 16 0 0 3 A 6 0 0 1 4


Слайд 26

Заполняем строку A 3 , разделив все элементы на разрешающий а 22 =8 i
Описание слайда:

Заполняем строку A 3 , разделив все элементы на разрешающий а 22 =8 i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 1 0 2 A 3 16 24 3/4 1/2 1 0 1/8 0 3 A 6 0 0 1 4 r i a a a rk rj rj   /


Слайд 27

Вычисление остальных элементов таблицы производим по рекуррентным формулам:    строки. ей направляющ
Описание слайда:

Вычисление остальных элементов таблицы производим по рекуррентным формулам:    строки. ей направляющ номер - столбца, его направляющ номер - где при при , , , ' ' r k r i a a a a a r i a a b b b ik ik rk rj ij ij rk r i i         В нашем случае k=3 r=2


Слайд 28

Тогда компоненты вектора A 0 находятся     108 3 24 180
Описание слайда:

Тогда компоненты вектора A 0 находятся     108 3 24 180 72 12 8 192 360 33 13 23 2 3 ' 3 23 2 1 ' 1               a a b b b a a b b b


Слайд 29

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A
Описание слайда:

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 72 0 1 0 2 A 3 16 24 3/4 1/2 1 0 1/8 0 3 A 6 0 108 0 0 1 4


Слайд 30

Вычислим компоненты вектора A 1 :4 11 3 8 6 5 9 12 8
Описание слайда:

Вычислим компоненты вектора A 1 :4 11 3 8 6 5 9 12 8 6 18 33 13 23 21 31 ' 31 23 21 11 ' 11                           a a a a a a a a a a


Слайд 31

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A
Описание слайда:

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 72 9 0 1 0 2 A 3 16 24 3/4 1/2 1 0 1/8 0 3 A 6 0 108 11/4 0 0 1 4


Слайд 32

Аналогично находятся элементы столбцов векторов A 2 , A 5. i Бази с C
Описание слайда:

Аналогично находятся элементы столбцов векторов A 2 , A 5. i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 72 9 9 0 1 -3/2 0 2 A 3 16 24 3/4 1/2 1 0 1/8 0 3 A 6 0 108 11/4 3/2 0 0 -3/8 1 4


Слайд 33

Теперь заполним четвертую строку симплексной таблицы.        2
Описание слайда:

Теперь заполним четвертую строку симплексной таблицы.        2 0 8 1 16 2 10 2 1 16 3 9 4 11 0 4 3 16 9 0 384 108 0 24 16 72 0 5 5 5 2 2 2 1 1 1 0 , , , , 0                                       c A c c A c c A c A c F


Слайд 34

i Базис C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1
Описание слайда:

i Базис C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 72 9 9 0 1 -3/2 0 2 A 3 16 24 3/4 1/2 1 0 1/8 0 3 A 6 0 108 11/4 3/2 0 0 -3/8 1 4 384 3 -2 0 0 2 0 В результате мы получим новое допустимое решение: изготовление 24 изделий C , остаются неиспользованными 72 кг сырья I вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость производимой продукции равна 384 рубля.       108 , 0 , 72 , 24 , 0 , 0 2 X


Слайд 35

Решение X 2 не является оптимальным, т.к. в 4-ой строке последней симплекс–таблице в столбце
Описание слайда:

Решение X 2 не является оптимальным, т.к. в 4-ой строке последней симплекс–таблице в столбце вектора A 2 стоит отрицательное число –2. В базис вводится вектор A 2, Для определения направляющей строки найдем   8 9 72 3 2 108 , 1 2 24 , 9 72 min     Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор A 4,


Слайд 36

i Базис C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1
Описание слайда:

i Базис C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 4 0 72 9 9 0 1 -3/2 0 2 A 3 16 24 3/4 1/2 1 0 1/8 0 3 A 6 0 108 11/4 3/2 0 0 -3/8 1 4 384 3 -2 0 0 2 0 Проводим аналогичные преобразования с таблицей.


Слайд 37

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A
Описание слайда:

i Бази с C  A 0 9 10 16 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 2 10 8 1 1 0 1/ 9 -1/6 0 2 A 3 16 2 0 1 /4 0 1 -1/18 5/24 0 3 A 6 0 96 5 /4 0 0 11/16 -1/8 1 4 4 00 5 0 0 2/9 5/3 0 В результате получаем новое оптимальное решение          96 , 0 , 0 , 20 , 8 , 0 3 X


Слайд 38

Ответ Это решение соответствует плану выпуска продукции, включающего изготовление 8 изделий B и 20
Описание слайда:

Ответ Это решение соответствует плану выпуска продукции, включающего изготовление 8 изделий B и 20 изделий C . При этом сырье I и II видов используется полностью и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида. Стоимость производимой продукции равна 400 рублей.


Слайд 39

Вопросы 1. В чем смысл симплекс-метода? 2. Что необходимо для реализации СМ? 3. Теорема
Описание слайда:

Вопросы 1. В чем смысл симплекс-метода? 2. Что необходимо для реализации СМ? 3. Теорема о соответствии допустимых решений задачи и многоугольника решений. 4. С чего начинается решение задачи СМ? 5. Как определяется начальное допустимое решение (опорный план)? 6. Что такое оценка плана? 7. Теоремы, позволяющие проверить решение на оптимальность (при максимизации).


Слайд 40

8. Что меняется при определении минимального решения? 9. Как определяется направляющий столбец? 10. Как
Описание слайда:

8. Что меняется при определении минимального решения? 9. Как определяется направляющий столбец? 10. Как определяется направляющая строка? 11. Как рассчитать следующую симплекс- таблицу? 12. Когда задача не имеет решения?


Чтобы скачать презентацию - поделитесь ей с друзьями с помощью социальных кнопок.