Задача двух тел. Уравнения движения в задаче двух тел

Презентация Задача двух тел. Уравнения движения в задаче двух тел. Доклад-презентация на заданную тему выполнена в программе PowerPoint и содержит 51 слайдов. Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам. Если презентация оказалась полезной для Вас - поделитесь ссылкой с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки вашего браузера!
Презентации » Математика » Задача двух тел. Уравнения движения в задаче двух тел
Презентация Задача двух тел. Уравнения движения в задаче двух тел. Доклад-презентация на заданную тему выполнена в программе PowerPoint и содержит 51 слайдов. Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам. Если презентация оказалась полезной для Вас - поделитесь ссылкой с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки вашего браузера!

Слайды презентации Открыть в PDF

Слайд 1

Задача двух тел. Уравнения движения в задаче двух тел
Описание слайда:

Задача двух телЗадача двух тел


Слайд 2

22Уравнения движенияУравнения движения в задаче двух телв задаче двух тел  Движение двух материальных
Описание слайда:

22Уравнения движенияУравнения движения в задаче двух телв задаче двух тел  Движение двух материальных Движение двух материальных точек будем рассматривать в точек будем рассматривать в инерциальной системе отсчета.инерциальной системе отсчета. xy z m 1 m 2


Слайд 3

33Массы m 1 и m 2 притягивают друг друга с силой2 1 2 2
Описание слайда:

33Массы m 1 и m 2 притягивают друг друга с силой2 1 2 2 m m F k r  Сила, действующая на тело m 2 вдоль оси x y 1y 2 x 1 x 2m 1 m 2  r Из рисунка видно, что 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) r x x y y     1 2 cos x x r    2 1 2 2 2 1 2 3 cos ( ) x m m F m x F k x x r       Аналогично находятся проекции y F и z F


Слайд 4

44Уравнения движения тела m 2 , притягиваемого телом m 1 будут иметь вид2 1
Описание слайда:

44Уравнения движения тела m 2 , притягиваемого телом m 1 будут иметь вид2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 ( ), ( ), ( ). k m x x x r k m y y y r k m z z z r          (1)


Слайд 5

55Аналогично находим уравнения движения тела m 1 под влиянием притяжения от тела m 22
Описание слайда:

55Аналогично находим уравнения движения тела m 1 под влиянием притяжения от тела m 22 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 3 ( ), ( ), ( ). k m x x x r k m y y y r k m z z z r          (2)


Слайд 6

66Вычитая из (1) уравнения (2) находим уравнения движения тела m 2 относительно m 12
Описание слайда:

66Вычитая из (1) уравнения (2) находим уравнения движения тела m 2 относительно m 12 1 2 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 3 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). k m m x x x x r k m m y y y y r k m m z z z z r                  


Слайд 7

77Вводя обозначения2 1 2 ( ) k m m    и 2
Описание слайда:

77Вводя обозначения2 1 2 ( ) k m m    и 2 1 2 1 2 1 , , x x x y y y z z z       окончательно получим 3 3 3 0, 0, 0. x x r y y r z z r             (3)


Слайд 8

88Интегралы площадейИнтегралы площадей Умножаем первое уравнение системы (3) на –y , второе – на
Описание слайда:

88Интегралы площадейИнтегралы площадей Умножаем первое уравнение системы (3) на –y , второе – на x , и складываем их. Затем складываем второе, умноженное на –z , с третьим, умноженным на y и первое, умноженное на z с третьим, умноженным на –x . 3 3 30 0 0 x x r y y r z z r             y x z  y z x 


Слайд 9

99Интегралы площадейИнтегралы площадей В итоге получим:0, 0, 0. xy yx yz zy zx xz
Описание слайда:

99Интегралы площадейИнтегралы площадей В итоге получим:0, 0, 0. xy yx yz zy zx xz             Интегрируя эти соотношения, находим 1 2 3 , , xy yx a yz zy a zx xz a             (4)


Слайд 10

1010Домножаем равенства (4) на z , x , y соответственно и складываем1 2 3
Описание слайда:

1010Домножаем равенства (4) на z , x , y соответственно и складываем1 2 3 0 a z a x a y    (5)получим: 1 2 3xy yx a yz zy a zx xz a            z x y


Слайд 11

1111Это уравнение плоскости , проходящей через начало координат. В этой плоскости происходит движение тела
Описание слайда:

1111Это уравнение плоскости , проходящей через начало координат. В этой плоскости происходит движение тела m 2 . Постоянные а1 , а2 , а3 определяют положение плоскости орбиты этого тела относительно осей координат. Смысл этих постоянных можно усмотреть из следующего рисунка.


Слайд 12

1212O P xy Q R rr ´ h θΔ θ Обозначим через Δ А
Описание слайда:

1212O P xy Q R rr ´ h θΔ θ Обозначим через Δ А – площадь треугольника OPQ , описанного радиус- вектором за время Δ t .1 2 A r h     Из треугольника OPR имеем sin( ) h r    Поэтому 1 sin( ) 2 A r r     


Слайд 13

1313Перепишем последнее равенство в виде:1 sin( ) 2 A r r t t 
Описание слайда:

1313Перепишем последнее равенство в виде:1 sin( ) 2 A r r t t            При 0    отношение площади треугольника к площади сектора 1  , , r r   sin( ) 1.      В пределе при 0 t   имеем: 2 1 2 dA d r dt dt   Это секториальная скорость движущейся точки. (6)


Слайд 14

1414Посмотрим теперь как будет выглядеть последнее выражение в прямоугольных координатах:2 2 , r x
Описание слайда:

1414Посмотрим теперь как будет выглядеть последнее выражение в прямоугольных координатах:2 2 , r x y   . y tg x   Отсюда: , y arctg x         2 2 2 1 . 1 d yx xy xy yx dt x r y x                       В итоге находим: 1 ( ). 2 dA xy yx dt     (!!!)


Слайд 15

1515Постоянные а1 , а2 , а3 – проекции удвоенной секториальной скорости на плоскости xy
Описание слайда:

1515Постоянные а1 , а2 , а3 – проекции удвоенной секториальной скорости на плоскости xy , yz и zx ! Поэтому удвоенная секториальная скорость в плоскости орбиты будет:2 2 2 1 2 3 . c a a a    При решении астрономических задач положение в пространстве плоскости орбиты принято определять не коэффициентами ее уравнения, а двумя углами Ω и i , имеющими смысл, усматриваемый из следующего рисунка: (7)


Слайд 16

1616ξζ yz x N ΠSz’ y’ x’Ω ω i Ω – долгота восходящего узла,
Описание слайда:

1616ξζ yz x N ΠSz’ y’ x’Ω ω i Ω – долгота восходящего узла, отсчитывается от оси x в сторону оси y (0°≤ Ω≤ 360°) ; i – наклон плоскости орбиты к основной плоскости (0°≤i≤90°) . Свяжем постоянные а 1 , а 2 , а 3 с Ω и i . Для этого перейдем от системы координат Sxyz к системе Sx’y’z’ (в ней орбита – основная плоскость) Сделаем два поворота: вокруг оси Sz на угол Ω и вокруг оси Sx’ на угол i .


Слайд 17

1717S C B xy A x ´y ´ Ωcos sin , x SB C
Описание слайда:

1717S C B xy A x ´y ´ Ωcos sin , x SB C B x y         sin cos , y x y       . z z  Поворот вокруг оси Sz на угол Ω (8)


Слайд 18

1818В матричной форме этот поворот можно записать следующим образом:cos sin 0 sin cos 0
Описание слайда:

1818В матричной форме этот поворот можно записать следующим образом:cos sin 0 sin cos 0 . 0 0 1 x x y y z z          (9)


Слайд 19

1919Поворот вокруг оси Sx’ на угол i i S y ´y ″z ´ z
Описание слайда:

1919Поворот вокруг оси Sx’ на угол i i S y ´y ″z ´ z ″, cos sin , sin cos . x x y y i z i z y i z i              В матричной форме: 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos x x y i i y z i i z         (10) (11)


Слайд 20

2020Таким образом, после двух поворотов, имеем:cos sin 0 1 0 0 sin cos 0
Описание слайда:

2020Таким образом, после двух поворотов, имеем:cos sin 0 1 0 0 sin cos 0 0 cos sin 0 0 1 0 sin cos x x y i i y z i i z           Перемножив поворотные матрицы получим: cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos 0 sin cos x i i x y i i y z i i z             (12)


Слайд 21

2121Так как компоненты удвоенной секториальной скорости в системе координат Oxyz есть а 1 ,
Описание слайда:

2121Так как компоненты удвоенной секториальной скорости в системе координат Oxyz есть а 1 , а 2 , а 3 , а в плоскости орбиты – 0 , 0 , с , то они связаны друг с другом при помощи последнего соотношения:1 2 3 cos cos sin sin sin 0 sin cos cos sin cos 0 0 sin cos a i i a i i a i i c          Отсюда: 1 sin sin a c i   2 sin cos a c i   3 cos a c i  (13)


Слайд 22

2222 Перепишем теперь интегралы площадей:sin sin , sin cos , cos . xy yx
Описание слайда:

2222 Перепишем теперь интегралы площадей:sin sin , sin cos , cos . xy yx c i yz zy c i zx xz c i               (14) Осталось связать здесь с элементами орбиты постоянную c . Для этого найдем сначала из уравнений движения (3) интеграл живых сил (интеграл энергии).


Слайд 23

2323Умножим первое, второе и третье уравнения системы (3) на, , x y z 
Описание слайда:

2323Умножим первое, второе и третье уравнения системы (3) на, , x y z   3 ( ) xx yy zz xx yy zz r               Сложив, получим: 3 3 3 0 0 0 x x r y y r z z r             x y z


Слайд 24

24243 ( ) xx yy zz xx yy zz r    
Описание слайда:

24243 ( ) xx yy zz xx yy zz r              можно переписать в виде:   2 2 2 1 2 d x y z dt      Правую – в виде:     2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2 2 d d dr d x y z r r dt r dt r dt dt r                Левую часть равенства


Слайд 25

2525Таким образом, имеем:  2 2 2 1 1 2 d d x y
Описание слайда:

2525Таким образом, имеем:  2 2 2 1 1 2 d d x y z dt dt r              Интегрирование последнего выражения дает нам интеграл энергии : 2 2 2 2 x y z h r               (15) Здесь h – постоянная интеграла энергии.


Слайд 26

2626Так как движение происходит в плоскости, то координата z ″=0, а радиус-вектор2 2 r
Описание слайда:

2626Так как движение происходит в плоскости, то координата z ″=0, а радиус-вектор2 2 r x y     Интеграл площадей и интеграл живых сил в плоскости орбиты будут иметь вид 2 2 2 x y y x c x y h r                      


Слайд 27

2727Перейдем теперь от прямоугольных координат x ″ , y″ к полярным координатам r ,
Описание слайда:

2727Перейдем теперь от прямоугольных координат x ″ , y″ к полярным координатам r , ucos , sin x r u y r u     cos sin , sin cos x r u r u u y r u r u u               Интеграл площадей и интеграл живых сил в полярных координатах будут иметь вид 2 2 2 2 , 2 . r u c r r u h r               (16) (17)


Слайд 28

2828Из равенств (16) и (17) имеем2 2 2 2 c r h r r
Описание слайда:

2828Из равенств (16) и (17) имеем2 2 2 2 c r h r r            Таким образом 2 2 2 dr c h dt r r            При помощи (16) можно найти 2 dr dr du dr c d c dt du dt du r du r          (18) 2 c u r  


Слайд 29

2929Уравнение (18) можно переписать в виде:2 2 2 d c c h du r
Описание слайда:

2929Уравнение (18) можно переписать в виде:2 2 2 d c c h du r r r                   Преобразуем подкоренное выражение: 2 2 2 2 2 2 2 2 c c h h r r c c r                  Обозначим: 2 2 2 , 2 . c q Q h c r c      


Слайд 30

3030Имеем:2 2 2 1 . dq q Q q Q du Q  
Описание слайда:

3030Имеем:2 2 2 1 . dq q Q q Q du Q           Далее 2 1 . q d Q q du Q               Введем замену . q Q   Получим: 2 1 , d du     или 2 . 1 d du     


Слайд 31

3131 Последнее выражение можно проинтегрироватьa rc c o s u    
Описание слайда:

3131 Последнее выражение можно проинтегрироватьa rc c o s u     где ω – постоянная интегрирования. Отсюда cos( ) u     Но 2 2 . 2 c q c r Q h c         Поэтому 2 2 2 cos( ), c h u c r c        


Слайд 32

3232или2 2 2 1 1 2 cos( ). h u r c c c
Описание слайда:

3232или2 2 2 1 1 2 cos( ). h u r c c c        Отсюда 2 2 2 . 1 2 cos( ) c r c h u c        Сравнивая теперь со стандартным уравнением конического сечения , 1 cos p r e v   где 2 (1 ) p a e   – параметр орбиты a – большая полуось e – эксцентриситет


Слайд 33

3333находим:, c p   , 2 h a   . v u
Описание слайда:

3333находим:, c p   , 2 h a   . v u    Здесь ω – аргумент перицентра (угловое расстояние перицентра от узла). v Ω ω r P Π u v    – аргумент широты. Т.о. мы определили постоянные c и h через общепринятые элементы a , e , p .


Слайд 34

3434С этими постоянными интеграл энергии2 2 1 . V r a   
Описание слайда:

3434С этими постоянными интеграл энергии2 2 1 . V r a          Уравнение траектории 2 (1 ) , 1 cos a e r e v    2 2 (1 ). dv r a e dt    (19) (20) (21)Уравнение интеграла площадей:


Слайд 35

3535Введем для случая эллиптического движения некоторую вспомогательную переменную – эксцентрическую аномалию E : A
Описание слайда:

3535Введем для случая эллиптического движения некоторую вспомогательную переменную – эксцентрическую аномалию E : A B C y Π xξη SN MM ׳ r v E Из рис. видно, что, cos , cos . CS CN NS ae CN a E NS r v      Поэтому: cos cos ae a E r v   Т.е. cos (cos ). r v a E e   (22)


Слайд 36

3636Отношение малой и большой полуоси будет:b MN y a M N y  
Описание слайда:

3636Отношение малой и большой полуоси будет:b MN y a M N y     Здесь 2 1 , sin , sin . b a e M N a E MN r v      Отсюда имеем: 2 sin 1 sin . r v a e E   (23) Возводя (22) и (23) в квадрат и складывая, получим: (1 cos ). r a e E   (24)(см. след. слайд)


Слайд 37

3737 xx 22 /a/a 22 +y+y 22 /b/b 22 =1=1 – – уравнение эллипсауравнение
Описание слайда:

3737 xx 22 /a/a 22 +y+y 22 /b/b 22 =1=1 – – уравнение эллипсауравнение эллипса  xx '' 22 /a/a 22 +y+y '' 22 /a/a 22 =1=1 – – уравнение уравнение окружностиокружности  x=x'x=x'  y=MNy=MN  y‘=M‘Ny‘=M‘N


Слайд 38

3838Подставляя (24) в (22) и (23), получим соотношения, связывающие истинную и эксцентрическую аномалии:2 1
Описание слайда:

3838Подставляя (24) в (22) и (23), получим соотношения, связывающие истинную и эксцентрическую аномалии:2 1 sin sin , 1 cos cos cos . 1 cos e E v e E E e v e E       (25) Можно найти также соотношения, связывающие тангенсы половинных углов v и E :


Слайд 39

3939cos (1 )(1 cos ), cos (1 )(1 cos ). r r v a
Описание слайда:

3939cos (1 )(1 cos ), cos (1 )(1 cos ). r r v a e E r r v a e E        Делим первое на второе: 1 cos 1 1 cos . 1 cos 1 1 cos v e E v e E                    Используя тригонометрические соотношения 2 2 1 cos 2 sin , 1 cos 2 cos , 2 2 v v v v     окончательно находим: 1 . 2 1 2 v e E tg tg e    (26)(25 ’ )


Слайд 40

4040Найдем теперь уравнение, связывающее переменную E со временем. Дифференцируя соотношение (26) получим:2 2 1
Описание слайда:

4040Найдем теперь уравнение, связывающее переменную E со временем. Дифференцируя соотношение (26) получим:2 2 1 1 1 . 1 cos cos 2 2 dv e dE v E dt e dt    Отсюда 2 2 cos 1 2 . 1 cos 2 E dE e dv v dt e dt   


Слайд 41

4141Из интеграла площадей (21)Учитывая, что2 2 1 1 cos (1 cos ), cos (1
Описание слайда:

4141Из интеграла площадей (21)Учитывая, что2 2 1 1 cos (1 cos ), cos (1 cos ), 2 2 2 2 E v E v     Имеем 1 1 1 1 dE CosE e dv dt Cosv e dt      2 2 (1 ) a e dv dt r   


Слайд 42

4242Используя также выражение для радиус- вектора (24)3 1 , 1 cos dE dt a
Описание слайда:

4242Используя также выражение для радиус- вектора (24)3 1 , 1 cos dE dt a e E    Откуда имеем 3 (1 cos ) . dE e E dt a    и второе из соотношений (25 ’ ) (1 cos ). r a e E   находим: cos (1 )(1 cos ). r r v a e E    


Слайд 43

4343Интегрируя, находим:3 sin ( ). E e E t a    
Описание слайда:

4343Интегрируя, находим:3 sin ( ). E e E t a      (27) Здесь  – постоянная интегрирования (момент прохождения через перигелий), а само уравнение – знаменитое уравнение Кеплера . Чтобы связать движение в плоскости орбиты с движением в пространстве, надо сделать еще один поворот системы координат.


Слайд 44

4444Поворот системы координат Sx ″y″z″ вокруг оси Sz″ на угол ω : ω Sη
Описание слайда:

4444Поворот системы координат Sx ″y″z″ вокруг оси Sz″ на угол ω : ω Sη y ″ x ″ξcos sin , sin cos , . x y z                  В матричной форме: cos sin 0 sin cos 0 . 0 0 1 x y z            


Слайд 45

4545Таким образом, получить выражения для координат x , y , z через элементы орбиты
Описание слайда:

4545Таким образом, получить выражения для координат x , y , z через элементы орбиты можно при помощи трех поворотных матриц:cos sin 0 1 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 cos sin sin cos 0 . 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 x y i i z i i                Сокращенно это можно записать так: { , , } ( ) ( ) ( ){ , , 0}, x y z Z X i Z      где ( ) X i – матрица, соответствующая повороту вокруг оси абсцисс на угол i , а ( ) Z  и ( ) Z  матрицы поворота вокруг оси аппликат на угол  и угол  соответственно. (28)


Слайд 46

4646Так как движение в задаче двух тел происходит в плоскости, то в прямоугольной орбитальной
Описание слайда:

4646Так как движение в задаче двух тел происходит в плоскости, то в прямоугольной орбитальной системе координат { ξ , η , ζ } координата ζ =0, а координаты ξ и η , как это следует из рисунка на слайде 35 и соотношений (22) и (23)2 cos (cos ), sin 1 sin . r v a E e r v a e E         (29)


Слайд 47

4747Уравнение Кеплера, связывающее эксцентрическую аномалию и время, обычно записывают в виде:sin , E e
Описание слайда:

4747Уравнение Кеплера, связывающее эксцентрическую аномалию и время, обычно записывают в виде:sin , E e E M   где ( ). M n t    Величина 3 / n a   есть среднее движение по орбите. средняя аномалия Среднюю аномалию обычно представляют в виде 0 0 (t t ) M n M    где 0 0 (t )M n   


Слайд 48

4848Формулы, связывающие координаты x , y , z с элементами орбитыcos sin 0 1
Описание слайда:

4848Формулы, связывающие координаты x , y , z с элементами орбитыcos sin 0 1 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 cos sin sin cos 0 . 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 x y i i z i i                2 cos (cos ), sin 1 sin . r v a E e r v a e E         sin , E e E M   0 0(t t )M n M   


Слайд 49

 Формулы для скоростей находим Формулы для скоростей находим дифференцированием формул для координат дифференцированием
Описание слайда:

 Формулы для скоростей находим Формулы для скоростей находим дифференцированием формул для координат дифференцированием формул для координат 4949co s sin 0 1 0 0 co s sin 0 sin co s 0 0 co s sin sin co s 0 0 0 1 0 sin co s 0 0 1 0 x y i i z i i                    sin a E E    2 1 cosa e E E      1 cos n E e E   


Слайд 50

 Формулы для координат и скоростей Формулы для координат и скоростей представляют также в
Описание слайда:

 Формулы для координат и скоростей Формулы для координат и скоростей представляют также в видепредставляют также в виде 5050x x y y z zx P Q y P Q z P Q             x x y y z zx P Q y P Q z P Q                      Проективные коэффициенты


Слайд 51

5151cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin x y
Описание слайда:

5151cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin x y z P i P i P i               sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin x y z Q i Q i Q i              


Чтобы скачать презентацию - поделитесь ей с друзьями с помощью социальных кнопок.