Объёмы тел Изображения пространственных фигур Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мы

Объёмы тел
Изображения пространственных фигур
СТЕРЕОМЕТРИЯ

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии
«Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с
необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение
пространственных фигур.
Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул.
Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется
стереометрией

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей;
ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества;
ГЕОМЕТРИЯ нужна
технику,
инженеру,
рабочему,
архитектору,
модельеру …
Мы знаем, что

ПЛАНИМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
«планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять
и лат. planum – плоская поверхность (плоскость)
«стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).
ГЕОМЕТРИЯ

Основные понятия стереометрии
точка,
прямая,
плоскость,
расстояние
α = (РКС)
|PK|
A∉α , KC ⊂ α , P ∈ α , |PK| = 2 см

Аксиомы стереометрии
Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.
Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений:
их описание и свойства содержатся в аксиомах
Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Аксиомы стереометрии
А-1
α = (РКС)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой
проходит плоскость, и притом только одна

Аксиомы стереометрии
А-2
m
М, C ∈ α
m ⊂ α
М, C ∈ m,
Если
то
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то все точки прямой лежат в этой плоскости

Аксиомы стереометрии
А-3
М ∈ α, М ∈ β, М ∈ m
m ∈ α, m ∈ β
α ∩ β = m
Если две плоскости имеют общую точку,
то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Т-1
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
м
А
В
Дано: М∉m
Так как М∉m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её α. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости α..
Таким образом, плоскость α проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — β, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости α и β проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость α единственна.
Теорема доказана
Доказательство
Пусть точки A, B ∈ m.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Т-2
Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
N
Дано: m ∩ n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.
Рассмотрим плоскость α =(n, N). Так как M∈ α и N∈α, то по А-2 m ⊂ α. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости α и следовательно α, является искомой
Докажем единственность плоскости α. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые m и n, плоскость β.
Так как плоскость β проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.
Теорема доказана

По трем точкам, не лежащим на одной прямой
По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым
По двум параллельным прямым
ВЫВОД
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

Определение
Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.
Определение
Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:
равные тела имеют равные объемы;
при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
Определение объема тела

за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;
если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
Определение
Тела с равными объемами называются равновеликими .
Из свойства 2 следует, что если тело
с объемом V 1 содержится внутри тела
с объемом V 2, то V 1 < V 2.

Теорема 1.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc
Теорема 2.
Объем прямой призмы равен
произведению площади основания на высоту:
V = SH .
Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма,
причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC
Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1.
Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии.
Данная призма и призма ABDA1B1D1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики.

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC .
Следовательно,
V = V 1 + V 2 = S Δ ADC · H + S Δ BDC · H =
SΔ ABC · H = S · H .
Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3),
разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм
Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм,
S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.
Пусть V и V 1 – соответственно
объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1
и параллелепипеда,
тогда, учитывая теорему1, получим

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1
Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC .
Следовательно, V = V1 + V2 = SΔ ADC · H + SΔ BDC · H = S Δ ABC · H = S · H .
Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3),
разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм
Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем
n -угольной призмы
V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H ,
где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм,
S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V = S пс
Пусть ABCA1B1C1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A2B2C2 и A3B3C3 – перпендикулярные сечения этой призмы.
Призма A2B2C2A3B3C3 прямая, причем A2A3=A1A .Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 в многогранник A 3 B 3 C 3 ABC .
Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA 1 B 1 C 1, V 1 – объем призмы A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2, V 2 – объем многогранника A 2 B 2 C 2 ABC , тогда V + V 2 = V1 + V2, откуда V = V 1.
Поскольку призма A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 прямая, то
V 1 = S Δ A 3 B 3 C 3 · A 2 A 3 = Sпс · l = V , что и требовалось доказать
Теорема 3.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S · H .
Пусть A 2 B 2 C 2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA 1 B 1 C 1, A 1 O – высота этой призмы.
Пусть . Поскольку , а , то плоскости A2B2C2 и ABC образуют тот же угол φ, что и прямые A 1 A и A 1 O .
По теореме о площади ортогональной проекции SA2B2C2 = S AB С cos φ. Согласно теореме 3
V = S A 2 B 2 C 2 · A 1 A = S AB С cos φ · A 1 A = SABС · A 1 O = S · H .
Теорема 4.

.
Объём: V = Sh
S — площадь основания
Многогранник — тело, ограниченное плоскостями.
Призма — многогранник, основания которого
равные многоугольники,
боковые грани — параллелограммы.
АВ — ребро;
h — высота
Объёмы тел
и их изображение в пространстве

Параллелепипед — призма, у которой основания параллелограммы.
Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке
Прямоугольный параллелепипед — у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию.
Рёбра:
а — длина, b — ширина, с — высота; d — диагональ
(все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны)
Объём: V = a•b•c
Полная поверхность: S = 2(ab + bc + ca) d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó заметим, что точки Ао, Во, Dо и Аó являются вершинами тетраэдры АоВоDоАó.
Другими словами, любые три отрезка AB, CD и AA' плоскости изображения с общим концом А, ни какие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением рёбер AоBо, AоDо и AоАó параллелепипеда.
Поэтому в качестве их изображения
можно взять вершины произвольного
четырёхугольника АВDА'.

Таким образом параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó .
Но тогда изображения остальных рёбер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами.

Куб — прямоугольный параллелепипед,
все грани которого квадраты. а=b=с
V = а 3
(отсю­да и название третьей степени — «куб»),
d — диагональ
S = 6a 2
d 2 =3a 2
Число граней – 6,
форма граней – квадраты,
число ребер – 12, число вершин – 8.

Пирамида –
многогранник, основание которого многоугольник,
а остальные грани - треугольники,
имеющие общую вершину.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д.
Основание

4
3
Тетраэдр –
это один из пяти типов правильных многогранников;
правильная треугольная пирамида;
1
2
число вершин – 4.
Под изображением многогранника следует понимать фигуру,
состоящую из проекций всех его рёбер.
Число граней – 4,
форма граней – треугольники,
число ребер – 6,

Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования.
На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.

Отрезки AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0 .
Пусть A0B0C0D0 – произвольный тетраэдр,
A, B, C и D – параллельные проекции
его вершин на плоскость изображений (π).

Усеченная пирамида – плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.

• Число граней – 8,
форма граней – треугольники,
число ребер – 12,
число вершин – 6.
Октаэдр
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Додекаэдр
• Число граней – 12,
форма граней – пятиугольники, число ребер – 30, число вершин – 20.
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Икосаэдр
Число граней – 20,
форма граней – треугольники,
число ребер – 30,
число вершин – 12.
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Цилиндры.
• Круглый прямой.
• Круглый усеченный
S – площадь боковой поверхности. V – объем.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Сфера – поверхность шара
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

R — радиус шара;
а — радиус окружности сечения;
h — высота отсекаемой шляпки
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Шаровой сектор.

R — радиус шара;
а — радиус окружности сечения;
h — высота отсекаемой шляпки
Шаровой сегмент
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

R — радиус шара,
a , b — радиусы окружностей сечений,
h — высота слоя
Шаровой слой
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево),
выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом),
умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже
и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык.
При решении стереометрических задач высоки
требования к качеству чертежа, его наглядности.
Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа.