Задания с параметром в ГИА-2011

С 2005/2006 года итоговая аттестация (ГИА) по алгебре проходит в новой форме, которая, несмотря на очевидную связь с ЕГЭ, обладает некоторыми особенностями.
Контрольно- измерительные материалы экзамена в новой форме проверяют сформированность комплекса умений, связанных с информационно- коммуникативной деятельностью, с получением, анализом, а также применением эмпирических данных.
Экзаменационная работа ГИА-9 состоит из двух частей.

Первая часть предусматривает выполнение тестовых заданий . При этом ответы заданий фиксируются учениками непосредственно на бланке теста. Эта часть заданий направлена на проверку уровня обязательной подготовки учащихся (владение понятиями, знание свойств и алгоритмов, решение стандартных задач) и включает задания по следующим разделам алгебры: числа, буквенные выражения, преобразования выражений, уравнения, неравенства, функции и графики, последовательности и прогрессии.

Вторая часть имеет вид традиционной контрольной работы и состоит из пяти заданий, в которых в соответствии со спецификацией представлены следующие разделы программного материала: выражения и их преобразования; уравнения и системы уравнений; текстовые задачи; неравенства; функции, координаты и графики, последовательности и прогрессии.
Эта часть работы направлена на дифференцированную проверку повышенного уровня математической подготовки учащихся: владение формально-оперативным аппаратом, интеграция знаний из различных тем школьного курса, исследовательские навыки.

Литература для подготовки к экзамену.

Решение задач
с параметром
аналитически

1. Найдите значение p при которых парабола касается оси х. Для каждого значения p определите координаты точки касания.
Решение и ответ
Парабола касается оси х, если квадратный трехчлен
имеет единственный корень. Следовательно его дискриминант должен обратиться в нуль.
Подставляя значения букв p, находим координаты точек касания с осью оХ.
При p=20 точка касания (5;0); при p=-20 – точка касания (-5;0)

2. Найдите все значения а, при которых ,
неравенство
не имеет решений.
Решение и ответ
График функции
парабола, ветви которой направлены вверх. Значит данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, когда эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена
должен быть отрицательным.

3. Прямая касается окружности в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Решение и ответ
1) Найдем значения b, при которых система
имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение

Решение и ответ
2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:
Решив уравнение , получим
3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности
Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение
При b=-10 получим Этот корень не удовлетворяет условию задачи.
При b=10 получим Найдем соответствующее значение у:
Координаты точки касания (3;1).

4. Парабола
проходит через точки А(0;-4), В(-1; -11), С(4;4). Найдите координаты ее вершины.
Решение и ответ
1) Найдем коэффициенты a, b и c в уравнении параболы
Парабола проходит через точку А(0;-4), значит, с=-4.
Подставим координаты точек В и С в уравнение
Получим систему уравнений

Решаем систему
Решение и ответ
Отсюда: а=-1, b=6.Уравнение параболы имеет вид
2) Найдем координаты вершины:

5. При каких значениях m уравнение
имеет два различных корня?
Решение и ответ
Представим уравнение в виде
Отсюда Таким образом, при любом значении m данное уравнение имеет корень, равный 0.
2) Рассмотрим уравнение . Возможны два случая

Решение и ответ
При получаем полное квадратное уравнение. Если его дискриминант равен нулю, то оно имеет единственный корень, а уравнение
два корня.
Имеем
Таким образом, при исходное уравнение имеет два различных корня.
При получаем неполное квадратное уравнение ,корни которого 0 и -10.
Таким образом. При уравнение
также имеет два различных корня.
Ответ: при и

6. При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=2, выражение
принимает наименьшее значение?
Решение и ответ
Выразим из равенства m+n=2 одну переменную через другую, например, переменную m через n: m=2-n. Подставим полученное выражение в данное:
2) Функция принимает наименьшее значение при ; воспользовавшись этой формулой, получим
Ответ: при

7Найдите все отрицательные значения m, при которых система уравнений
не имеет решений.
Решение и ответ
Подставим у=1-х в уравнение , получим квадратное уравнение относительно х:
2) Найдем значения m, при которых это уравнение не имеет решений:
Таким образом, система не имеет решений при
Учитывая условие m<0, получим:
Ответ:

8.При каких значениях p система неравенств имеет решения?
Решение и ответ
1.Преобразовав каждое неравенство, получим систему
2. Система имеет решения, если К этому выводу легко придти с помощью координатной прямой. Отсюда
Ответ: при
х
5
3-р

9.При каких значениях n решением неравенства является любое число?
Решение и ответ
1.Так как ветви параболы направлены вверх. То она должна быть расположена выше оси Ох или касаться ее.
2. Поэтому
Отсюда
Ответ: при
х

10.При каких отрицательных значениях k прямая y=kx-4 пересекает параболу
в двух точках?
Решение и ответ
1.Прямая у=кх-4 пересекает параболу
в двух точках, если уравнение
имеет два решения, то есть дискриминант уравнения
больше нуля.
2. Имеем:
отсюда Так как k-
отрицательно, то
Ответ: при

Решение задач
с параметром
графически

11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции
Решение и ответ
Построим график заданной функции

Решение и ответ
Прямая y=kx пересекает в трех различных точках этот график, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку
(-3, -2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым y=3x+7 и y=3x-11

Решение и ответ
Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку
(-3,-2):
-2=-3k
k=2/3.
Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y=3x+7, равен 3.
Прямая y=kx имеет с графиком заданной функции три общие точки при

12. Постройте график функции
При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки?
Решение и ответ
Построим график заданной функции

Решение и ответ
Прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки при

13. Постройте график функции
И определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение и ответ
Построим график заданной функции

Решение и ответ
Преобразуем дробь
Ответ: k=1

14. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5;-6) и B(-5;а) пересекает прямую 2х-у=-3?
Решение и ответ
Построим график функции
У
Х
Точки А и В лежат на вертикальной прямой
Отрезок АВ пересекает эту прямую в том случае, когда точка В(-5;а) лежит ниже этой прямой, то есть когда выполняется неравенство