Движение по законам Кеплера. Моделирование Солнечной системы

Система координат
Мы начинаем с выбора системы координат для нашего моделирования. Поскольку Земля вращается вокруг Солнца, имеет смысл использовать систему координат, показанную на рис. Координаты будут: угол θ и расстояние r между центрами Солнца и Земли.
Это упрощение, поскольку и Земля, и Солнце вращаются вокруг общего центра масс. Однако для целей нашего моделирования мы предполагаем, что Солнце не движется.

Кинетическая и потенциальная энергия
Уравнение для кинетической энергии Земли с массой m
Потенциальная энергия, которая исходит от гравитационного притяжения между Солнцем массой M и Землей, описывается следующим уравнением:
Буква G в уравнении 2 является гравитационной постоянной:

Лагранжиан
Мы найдем уравнения движения, используя Лагранжиан, который является кинетической энергией минус потенциальная энергия системы Солнце-Земля:

Первое уравнение движения: расстояние r
Теперь мы знаем лагранжиан и можем применить уравнение Эйлера-Лагранжа, чтобы получить два уравнения движения. Первый из них находится по следующей формуле, включающей частные производные лагранжиана от уравнения 3 по расстоянию r и его производной по времени:
После взятия производных получаем первое уравнение движения:
уравнение (5)

Второе уравнение движения: угол θ
Мы снова используем уравнение Эйлера-Лагранжа, но на этот раз берем производные Лагранжа из уравнения 3 по углу θ и его производной по времени:
После дифференцирования и упрощения мы получаем:
Мы делаем предметом уравнения вторую производную по времени от угла θ:
уравнение (8)

Решение уравнений движения методом Эйлера
Мы сделали самую трудную часть и нашли уравнения 5 и 8, которые описывают эволюцию системы Солнце-Земля во времени. Для того, чтобы оживить Землю, нам нужно решить эти уравнения и найти угол θ и расстояние r. Мы не будем пытаться решить эти дифференциальные уравнения алгебраически, а вместо этого используем численный метод Эйлера.

Начальные условия
Прежде чем применить метод Эйлера, нам сначала нужно будет установить начальные условия как для угла, так и для расстояния. Мы устанавливаем начальное расстояние равным длине астрономической единицы (АС), которая является средним расстоянием между Солнцем и Землей. Первая производная от расстояния, или скорости Земли, будет равна нулю. Обратите внимание, что это скорость Земли в направлении Солнца, а не скорость в направлении орбиты. Аналогично и для остальных планет.

Для нашей симуляции мы использовали графическую библиотеку SFML. Наша симуляция происходит в рамках Солнечной системы. Интерфейс нашей программы позволяет динамически изменять массу Солнца, а также величину времени.

Иллюстрация работоспособности модели Солнечной системы.
В слайдере можно редактировать массу Солнца (отсюда следует и траекторию движения планет) и величину времени.