Небесная механика. Занятие 4 - решения

Задача 2
13 октября 2020 г. было противостояние Марса с Солнцем, которое близко к великому (в созвездии Рыб) при максимальном видимом диаметре 22 с половиной угловых секунд.
Когда произойдет следующее противостояние Марса?

Решение
13 октября 2020 г. было противостояние Марса с Солнцем
Следующее противостояние начало сентября (6-7) 2024 г.

Задача 3
Через какое время повторяются западные элонгации Меркурия?
(последняя была 10.11, Меркурий наблюдался рано утром в созвездии Дева)

Решение
Через какое время повторяются западные элонгации Меркурия?
(последняя была 10.11, Меркурий наблюдался рано утром в созвездии Дева)

Задача 4
В один день Венера оказалась в наибольшей восточной элонгации при наблюдении с Земли и в наибольшей западной элонгации – при наблюдении с Марса. Найдите видимый угловой диаметр Марса при наблюдении с Земли в этот день. Орбиты всех планет считать круговыми.

Решение
В случае круговых орбит наибольшая элонгация (угловое расстояние от Солнца) внутренней планеты наступает, когда направление на нее из точки наблюдения является касательной линией к ее орбите. Наибольшая элонгация Венеры по условию задачи восточная для Земли и западная для Марса, следовательно, Венера находится на линии, соединяющей Землю и Марс.

Очевидно, что при наблюдении с Земли в этот день Марс оказался в соединении с Венерой. Расстояние от Земли до Марса равно
Угловой диаметр Марса в этот день составит
d″ = 206265″ ⋅ D / L = 4.6″.
Здесь D – диаметр Марса (R=3 397 км).

Задача 5
Луна постепенно удаляется от Земли, и через несколько миллиардов лет период смены ее фаз увеличится до 54 современных суток. Каков будет средний угловой диаметр Луны при наблюдении с Земли у горизонта?

Решение
Обозначим синодический период Луны в далеком будущем через S, и вычислим ее сидерический период T:
Здесь TE – период обращения Земли вокруг Солнца. Период обращения Луны вокруг Земли составит 47 суток.

Сравнивая его с нынешним периодом обращения Луны T0, получаем величину радиуса орбиты Луны в далеком будущем:
или 552 тысячи километров. Угловой диаметр Луны при наблюдении у горизонта составит
d = d / R = d0 / 1.44
или 21.5′.
Здесь d – диаметр Луны, а d0 – ее современный видимый диаметр у горизонта.

Оценивание:
Первый этап решения задания связан с переходом от синодического периода Луны к ее сидерическому периоду. Этот этап оценивается в 3 балла.
Если участник олимпиады не выполняет этот этап и приравнивает период обращения Луны вокруг Земли к 54 суткам, данные 3 балла не выставляются, и итоговая оценка может составлять от 0 до 5 баллов в зависимости от выполнения последующих этапов решения.
Применение III закона Кеплера и расчет нового радиуса орбиты Луны оценивается в 3 балла. При этом участникам не обязательно получать численное значение радиуса орбиты, они могут лишь вычислить его отношение к современному радиусу орбиты и перейти к изменению видимых размеров Луны.
Последний этап решения и формулировка ответа оцениваются в 2 балла.

Астрономические события декабря
14.12 – полное солнечное затмение
21.12 – соединение Юпитера и Сатурна

Д.з.
Синодический период некоторой планеты Солнечной системы относится к одному земному году так же, как один земной год – к сидерическому периоду этой планеты. Что это за планета?