Слайд 2Основные понятия
Финансовый рынок – рынок, на котором товарами служат деньги, банковские кредиты
![Основные понятия Финансовый рынок – рынок, на котором товарами служат деньги, банковские](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-1.jpg)
и ценные бумаги (облигации, акции, фьючерсы, опционы)
Слайд 3Эффективность финансовых операций
Предоставление в долг некоторой суммы S(0) с условием, что через
![Эффективность финансовых операций Предоставление в долг некоторой суммы S(0) с условием, что](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-2.jpg)
время Т будет возвращена сумма S(T). Кредитор получит прибыль S(T)-S(0).
В расчете на единицу кредита
rT – эффективность операции (с точки зрения кредитора), процентная ставка, интерес
dT – дисконт – отношение прибыли к возвращаемой сумме
Слайд 4Эффективная ставка
Эффективной ставкой называется годичная ставка сложных процентов, которая обеспечивает заданное соотношение
![Эффективная ставка Эффективной ставкой называется годичная ставка сложных процентов, которая обеспечивает заданное](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-3.jpg)
между возвращаемой суммой S(T) и суммой кредита S(0):
т.е.
Слайд 6Оптимизация портфеля ценных бумаг
![Оптимизация портфеля ценных бумаг](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-5.jpg)
Слайд 7Оптимизация портфеля ценных бумаг
Если mp – выбранное инвестором значение эффективности портфеля, то
![Оптимизация портфеля ценных бумаг Если mp – выбранное инвестором значение эффективности портфеля,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-6.jpg)
задача оптимизации имеет вид:
Слайд 8Решение задачи оптимизации
Метод множителей Лагранжа:
Из системы n+2 уравнений
находим структуру оптимального портфеля
![Решение задачи оптимизации Метод множителей Лагранжа: Из системы n+2 уравнений находим структуру оптимального портфеля](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-7.jpg)
Слайд 9Замечание к процессу поиска структуры оптимального портфеля
![Замечание к процессу поиска структуры оптимального портфеля](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-8.jpg)
Слайд 10Случай некоррелированности случайных величин
Если эффективности некоррелированны, то
Оптимальная структура портфеля имеет вид
Дисперсия
![Случай некоррелированности случайных величин Если эффективности некоррелированны, то Оптимальная структура портфеля имеет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-9.jpg)
оптимального портфеля равна
Слайд 11Пример. Оптимизация портфеля ценных бумаг
Инвестор может составить портфель из трех ценных бумаг,
![Пример. Оптимизация портфеля ценных бумаг Инвестор может составить портфель из трех ценных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-10.jpg)
эффективности которых R1, R2, R3 являются некоррелированными случайными величинами с числовыми характеристиками
(все данные в процентах к цене покупки).
Определить оптимальный портфель бумаг при mp = 10.
Слайд 12Решение
Эффективность портфеля Rp = Σ Riθi имеет математическое ожидание
и дисперсию
Получаем задачу
![Решение Эффективность портфеля Rp = Σ Riθi имеет математическое ожидание и дисперсию Получаем задачу квадратичного программирования](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-11.jpg)
квадратичного программирования
Слайд 13Решение
Составляем функцию Лагранжа
Необходимые условия экстремума
![Решение Составляем функцию Лагранжа Необходимые условия экстремума](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-12.jpg)
Слайд 14Решение
Решаем первые три уравнения системы:
Подставляем в последние два уравнения:
Находим
Получаем структуру оптимального
![Решение Решаем первые три уравнения системы: Подставляем в последние два уравнения: Находим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-13.jpg)
портфеля
Дисперсия равна
Слайд 15Модификация портфеля ценных бумаг
Пусть инвестор может наряду с покупкой ценных бумаг делать
![Модификация портфеля ценных бумаг Пусть инвестор может наряду с покупкой ценных бумаг](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-14.jpg)
вложения, не связанные с риском.
Необходимо определить оптимальную комбинацию рискового и безрискового части портфеля, чтобы минимизировать дисперсию при выбранной им средней эффективности портфеля mp.
Слайд 16Модификация портфеля ценных бумаг
Постановка задачи оптимизации
где r0 и θ0 - эффективность и
![Модификация портфеля ценных бумаг Постановка задачи оптимизации где r0 и θ0 -](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-15.jpg)
доля безрисковой части портфеля соответственно.
При этом r0 < mn
Слайд 17Решение модифицированной задачи
Строим функцию Лагранжа
Приравниваем нулю ее производные по θi:
Решая полученную систему
![Решение модифицированной задачи Строим функцию Лагранжа Приравниваем нулю ее производные по θi:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-16.jpg)
уравнений с учетом условий ограничений, получаем структуру оптимального портфеля
Слайд 19Случай некоррелируемости эффективностей
Если эффективности некоррелируемы, то
![Случай некоррелируемости эффективностей Если эффективности некоррелируемы, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-18.jpg)
Слайд 20Случай некоррелируемости эффективностей
Элементы структуры оптимального портфеля имеют вид
Дисперсия портфеля
Безрисковая часть будет входить
![Случай некоррелируемости эффективностей Элементы структуры оптимального портфеля имеют вид Дисперсия портфеля Безрисковая](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-19.jpg)
в портфель, если
Если , то в портфеле будет присутствовать только рисковая часть.
Если , то в портфеле будет присутствовать только безрисковая часть
Слайд 21Премия за риск
Превышение средней эффективности ценной бумаги над эффективностью безрискового вклада называется
![Премия за риск Превышение средней эффективности ценной бумаги над эффективностью безрискового вклада](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-20.jpg)
премией за риск
Премия за риск конкретной ценной бумаги, включенной в оптимальный портфель, пропорциональна премии за риск всего портфеля в целом
Коэффициент – бета-вклад j-ой ценной бумаги в
оптимальный портфель, т.е. отношение ковариации эффективности ценной бумаги и портфеля к вариации портфеля
Слайд 22Пример
Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если
![Пример Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-21.jpg)
есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i = 10% годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r1 = 16% и r2 = 23%, риски σ1 = 5%, σ2 = 14%, а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен ρ12 = 0,36.
Слайд 23Решение с помощью Excel
Вводим данные в рабочий лист. Для вычисления дисперсии портфеля
![Решение с помощью Excel Вводим данные в рабочий лист. Для вычисления дисперсии](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-22.jpg)
учтем, что σ12 = ρ12σ1σ2
Слайд 24Решение с помощью Excel
Для нахождения структуры оптимального портфеля воспользуемся надстройкой «Поиск решения»
![Решение с помощью Excel Для нахождения структуры оптимального портфеля воспользуемся надстройкой «Поиск решения»](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-23.jpg)
Слайд 25Решение с помощью Excel
Получаем следующие результаты
![Решение с помощью Excel Получаем следующие результаты](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1140252/slide-24.jpg)