Неравенства с одной переменной и их свойства

1.Числовые промежутки
х>6,
х<-5,
х≥-3,
х≤-1,
х
э
(6;∞)
х
э
(-∞;5)
х
э
[-3;∞)
х
э
(-∞;5)

5) -3<х<-2,
6)-3≤х≤-2,
7)-3<х ≤-2,
8)-3≤х <-2,
х
э
(-3;-2)
х
э
[-3;-2]
х
э
(-3;-2]
х
э
[-3;-2)

Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его обозначают так: (-∞;∞).
Например:
1)
[1;5]∩[3;7]=[3;5].
2) [1;5]U[3;7]=[1;7].

2.Решение неравенств с одной переменной.
Определение.
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное равенство.
Например: Рассмотрим неравенство 6х-5>7 .
Подставим вместо х число 1, тогда получится неравенство 6·1-5>7, которое не является верным.
Подставим вместо х число 3, тогда получится верное неравенство 6·3-5>7.
Число 3 является решением неравенства 6х-5>7 или удовлетворяет этому неравенству.

Свойства:
1.Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное неравенство.
2.Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное неравенство.
Например:
15+3х>0,
3х>-15,
х>-5.
2) 10х+20<5х,
10х-5х<-20,
5х<-20,
х<-4.
-5
-4
э
э
х
(-5;∞)
х
(-∞; -4)

Решим задачу:
Длина стороны стороны прямоугольника 8 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 10 см?
Пусть х см длина другой стороны прямоугольника (х>0), тогда его периметр Р равен 2(х+8) см.
Периметр квадрата со стороной 10 см равен 40 см.
Имеем: 2(х+8)<40,
х+8<20,
х<12.
Учитывая, что х>0, имеем 0<х<12.