Основные технические характеристики очередей

Технические характери­стики очереди
у
среднее время, которое клиент проводит в очереди
средняя длина очереди
среднее время, которое клиент проводит в системе обслужи­вания
среднее число клиентов в системе обслуживания
вероятность определенного числа клиентов в системе
вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой

Пример расчета
а
На строительном складе работают четыре кладовщика. Поток посетителей имеет пуассоновское распределение с интенсивностью 2 заявки в минуту. Время обслуживания имеет показательное распределение со средним значением 1,5 минуты на заявку. Определить показатели работы склада.

Пример расчета
Отсюда следует, что вероятность того, что все четыре кладовщика простаивают, равна 0,05. Определим другие показатели работы системы.
Абсолютная пропускная способность склада, т. е. количество обслуживаемых в единицу времени требовании, (заявки в минуту). Среднее число занятых кладовщиков . Вероятность образования очереди, т. е. вероятность того, что в момент обращения заказчика все четыре кладовщика заняты:

Пример расчета
а

Пример 2
а
ЗАДАНИЕ. Система массового обслуживания — билетная касса с одним окошком и неограниченной очередью. Касса продает билеты в пункты А и В.
Пассажиров, желающих купить билет в пункт А, приходит в среднем трое за 20 мин, в пункт В — двое за 20 мин. Поток пассажиров простейший. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания — показательное. Вычислить финальные вероятности Р0, P2, P3, среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время пребывания заявки в очереди.

Пример 2
РЕШЕНИЕ. Имеем систему массового обслуживания с одним каналом (однакасса) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна (2+3=5 пассажиров за 20 минут) = (15 пассажиров в час), то есть λ =15 .
Интенсивность потока обслуживания равна (3 пассажира за 10 минут) = (18 пассажиров за час), то есть µ =18.
Нагрузка системы , нагрузка системы на один канал такая же: , поэтому предельный режим работы системы существует.
Рассчитаем эффективность работы СМО в предельном режиме.

Пример 2
Вычислим финальные вероятности:
Вероятность простоя системы: Вероятность того, что в системе одна заявка (один пассажир у кассы):

Пример 2
Вероятность того, что в системе две заявки (один пассажир у кассы и один пассажир в очереди):
Вероятность того, что в системе три заявки (один пассажир у кассы и два пассажира в очереди):

Пример 2
Среднее число заявок, находящихся в очереди (пассажиров в очереди) равно:
Среднее время ожидания в очереди равно:

Пример 2
Среднее число пассажиров, покупающих билеты, равно:
Среднее время обслуживания равно:
Тогда среднее число заявок в системе:
(пассажиров).
Среднее время пребывания заявки в системе:
(минут).