Динамика популяции. Одна популяция. Расчетная работа

Популяция – сообщество особей одного вида, занимающих некоторую область пространства планеты (бактерии, вирусы, различные виды насекомых, млекопитающих…).
Модель Мальтуса
Модель была предложена священником Томасом Мальтусом в 1778 г. в работе «Трактат о народонаселении».
Встречаются популяции с дискретным периодом размножением (сезонным, связанным с временами года) и с непрерывным периодом.
Для популяций с непрерывным периодом размножения применим аппарат дифференциального исчисления.

Как будет изменяться численность популяции, если сдерживающие факторы (болезни, хищники, конкурирующие виды, ограниченность питания и т.д.) отсутствуют
Содержательная постановка задачи
Концептуальная постановка задачи
Гипотезы:
объектом исследования является некоторая популяция организмов;
сдерживающие факторы роста популяции отсутствуют;
скорость прироста прямо пропорциональна численности популяции;
Последние две гипотезы очень грубые. Применимы на очень коротком начальном этапе развития популяции.

Математическая постановка:

Модель безымунной эпидемии

Задание по Расчетной работе № 2.
С помощью пакета «Wolfram Mathematica» Для модели Мальтуса получить аналитическое решение. Изобразить график численности популяции в зависимости от времени.
Исследовать влияние параметров на вид решения.
Построить график зависимости скорости прироста от численности (фазовую диаграмму).
Выполнить пп. 1–3 для модели Ферхюльста.
Выполнить пп. 1–3 для модели безымунной эпидемии.

Требуется найти функцию y(t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
где f(t, y(t)) – заданная непрерывная функцию двух аргументов.
Численное решение задачи:

Метод Эйлера
Заменим производную функции в точке разностным аналогом:
Тогда дифференциальное уравнение можно заменить разностным:
Окончательно вычислительная процедура примет вид