Использование вейвлетов в малоглубинной геофизике

План выступления
История и предпосылки к созданию вейвлет-преобразования
Определение вейвлет-преобразования, его разновидности.Теория
Практические примеры использования вейвлет-преобразования в сейсморазведке
Выводы
Список используемых материалов

История и предпосылки к созданию вейвлет-преобразования
История спектрального анализа начинается с И. Бернулли, Эйлера и Ж. Фурье, который построил теорию разложения функций в тригонометрические ряды.
Иоганн Бернулли (1667 – 1748)
Леонард Эйлер (1707 – 1783)
Жан Батист Жозеф Фурье 1768 – 1830)

История и предпосылки к созданию вейвлет-преобразования

Определение вейвлет-преобразования, его разновидности. Теория.

Определение вейвлет-преобразования, его разновидности. Теория.

Определение вейвлет-преобразования, его разновидности. Теория.

Определение вейвлет-преобразования, его разновидности. Теория.
Дискретное вейвлет-преобразование (DWT)
Приведенное выше разложение вдвое уменьшает разрешение по времени в силу прореживания сигнала. Каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось.
Выше было приведено формальное определение. Однако, на практике используют менее строгие с математической точки зрения, но более быстрые и легкореализуемые алгоритмы. Примером может служить оператор прореживания.

Определение вейвлет-преобразования, его разновидности. Теория.
Принцип вейвлет преобразования
Гармонические функции локализованы в частотной области и нелокализованы во временной, а Импульсные функции локализованы во временной области и нелокализованы в частотной.
Вейвлеты по локализации занимают промежуточное положение: они должны быть локализированы как во временной, так и в частотной области. Чем точнее производится локализация временного положения функции, тем шире становится ее спектр и наоборот. Это имеет название – принцип неопределенности.
Гармонические функции и их спектр
Импульсная функция и ее спектр
Функции вейвлетов и их спектры

Практические примеры использования вейвлет-преобразования в сейсморазведке
Георадиолокация
Георадиолокационные трассы и результаты оконного преобразования Фурье: а) породы с ненарушенной слоистой структурой, б) породы с высокой электро- проводимостью
Вейвлет-спектры нижних частей георадиолокационных трасс (200–400 нс), представленных на рисунке слева
Фрагмент георадиолокационного разреза (а) и его оценка на основе НВП (б)

Практические примеры использования вейвлет-преобразования в сейсморазведке
SASW (Spectrum Analysis of Surface Waves)
Сейсмотрассы, полученные на 8 м. расстановки
БПФ сигнала, полученного на 8 м. расстановки
Зависимость фазы от частоты для приемников на 8 м. расстановки.

Практические примеры использования вейвлет-преобразования в сейсморазведке
SASW (Spectrum Analysis of Surface Waves)
Временно-частотная спектрограмма непрерывного вейвлет-преобразования
Спектрограмма сигнала с 1 приемника
после применения CWT
Спектрограмма сигнала с 1 приемника
после применения CWT

Практические примеры использования вейвлет-преобразования в сейсморазведке
Два случая применения вейвлет-преобразования при обработке сейсмических данных
До применения преобразования
После применения преобразования
До применения преобразования
После применения преобразования

Вопросы к зачету:
1) Когда появился вейвлет-анализ, в связи с чем и когда он получил широкое распространение?
2) Что такое масштаб и что такое сдвиг в вейвлет-преобразовании?
3) Что называется принципом неопределенности в вейвлет-анализе? (с точки зрения локализации)

Список используемых материалов
Успехи и перспективы приенения вейвлетных преобразований для анализа нестационарных нелинейных данных в современной геофизике., А.Е.Филатова, А.Е.Артемьев и др. 2010 г.
Вейвлет-критерий для анализа данных георадиолокационного мерзлого массива., К.О. Соколов 2014 г.
Серия лекций А.В. Давыдова «Вейвлетные преобразования сигналов» 2004 г.
Characterizing seismic time series using the descrete wavelet transform, H.J. Grubb., A.T. Walden 2013
Research of WSASW Application for Soil Dynamic Properties in Soft Soil Investigation at Kelang, Malaysia