Моделирование в сейсморазведке, подходы и математический аппарат

Моделирование
Задачи моделирования:
планирование съемки;
подавление кратных волн;
привязка скважинных данных к наземной сейсморазведке;
оценка качества применения обрабатывающих процедур.
Виды моделирования в сейсморазведке:
конечно-разностное;
лучевое
конечно-объемное

Лучевое трассирование
Постановка задачи
Дано:
S (sx , sy , sz) – координаты источника
?⃗ - радиус-вектор
P (px , py , pz) – точка на след. границе
Найти:
P (px , py , pz)
Длину и время пробега от S до P

Шаг №1. Уравнение поверхности отражателя
1) а11х2 + а22у2 + а33z2 + 2а12xy + 2а13xz + 2а23yz + b1х + b2y + b3z + c = 0 – уравнение 2 порядка б отражающей поверхности
2) А Х В
3)

Шаг №2. Длина пути пробега
от S до P
P = S + L x I
P = S + L x I
ϕ(px ,py, pz,) = PTAP + BTP + C
3)
4)
5)

Шаг №3. Нормаль к отражающей поверхности в точке P. Угол падения
1)
2)
3)

Шаг №4. Уравнение проходящего и отраженного лучей
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Шаг №3.Случай слоя с непрерывным изменением скорости
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

Лучевое трассирование
Итог: сейсмотрасса
- с увеличением сложности среды возникает проблема нелинейности решения обратной задачи
- ветвление решений прямой кинематической задачи
+ идейно прост

Конечно-разностный метод: схема Лебедева, Вирье, RSGS
Введем некую равномерную сетку с целыми и полуцелыми узлами, как по пространству, так и по времени и рассмотрим два множества индексов: Ω σ = {(IJK)| I + J + K ∈Z} Ω u = {(IJK)| I + J + K +1/ 2∈Z}
Введем эффективные параметры среды. Значения плотности и тензора упругих модулей предполагается известным в целых узлах сетки по пространству. В дробных узлах по пространству необходимо проводить пересчет параметров по определенным правилам правилам

Конечно-разностное моделирование
+ позволяет использовать модель-решетку любой сложности и дает качественный результат
- требует значительных вычислительных ресурсов
+ время обращения к памяти мало
- время расчета модели дольше, чем лучевым методом
+методы конечных разностей с явной схемой во временной области наиболее эффективны для решения 3D задач реального объёма

Конечно-объемный метод WENO/Рунге-Кутта
Разбиваем плоскость на ячейки
потоки
Интегрируем по объему ячейки
Аппроксимация N-точечной квадратурной формулой
веса
Для нахождения U применяется WENO-реконструкция из средних значений по ячейкам слева и справа на гранях между ячейками, подбираются весовые коэффициенты

Сравнение WENO и схемы Вирье: графики искажения импульса
1-2:сравнение с точным решением. На длину волны приходится 20 точек в первом случае. Во втором случае – 40 точек. Вывод: метод WENO дает более точные численные значения
3-4: пример решения задачи для двухслойной среды. Только при увеличении количества точек метод Вирье близок к истинным значениям
1
2
3
4

Вопросы
Способы моделирования
Какие схемы используются при конечно-разностном моделировании?
Какой метод самый быстрый? Какой наиболее точный?