06_ ОТС_ Дискретизация сигналов_14 (1)

Сигналы с ограниченной полосой
Если спектральная плотность финитна
t
x(t)
при
при

Теорема отсчётов
Э. Уиттекер - 1915
Х. Найквист - 1928
В.А. Котельников - 1933
К. Шеннон - 1948

Котельников В.А.
”О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи”.
В сб. Всесоюзный энергетический комитет. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. По радиосекции. – М.: Управление связи РККА, 1933. - С. 1-19.
1908 — 2005

Теорема отсчётов
Представим комплексным рядом Фурье
Э. Уиттекер - 1915
Х. Найквист - 1928
В.А. Котельников - 1933
К. Шеннон - 1948

Теорема отсчетов Котельникова
Выразим сигнал

Коэффициенты ряда Фурье

Обозначим

Теорема отсчётов Котельникова
Итак
базисные функции

Базис Котельникова
Сравним

согласно обобщённой формуле Рэлея

Базис ортогональный ненормированный

Восстановление аналогового сигнала по отсчётам
ЛИС-цепь

Осталось просуммировать по n
ЛИС-цепь

Спектральная трактовка
ЛИС-цепь
Воздействие (иАИМ-сигнал)
где
0

Согласно теореме умножения
ряд Фурье с коэффициентами
Поэтому спектральная плотность

Спектральная плотность

интерполирующий фильтр

Что мешает точному осуществлению условий теоремы отсчётов на практике?
1. Все сигналы имеют конечную длину → нефинитную спектральную плотность
2. Интерполирующий фильтр с прямоугольной КЧХ физически неосуществим (некаузален)
3. Периодическая последовательность дельта-функций неосуществима

Следствие нефинитности спектральной плотности сигнала
0
Эффект наложения называется подменой частот (aliasing [′eiliəsiη])
Способы борьбы:
увеличение частоты дискретизации
- противоподменная фильтрация нижних частот до дискретизации, тогда искажения, возникающие при интерполяции, уменьшаются вдвое (при идеальных фильтрах)

Подмена частот как проявление стробоскопического эффекта

Подмена частот как проявление стробоскопического эффекта