228

Взято с интернета!!!!!
Применение матриц в электротехнике. Матрицы применяются :

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов используемых в линейной алгебре- матрицы и определители.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа, составляющие эту таблицу, называются элементами матрицы.
Примеры:
Матрица
размером
2x2
(читается 2 на 2)
Матрица
размером
4x3
Матрица
размером
4x1
Матрица
размером
1x3
Матрица
размером
1x1

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…, а ее элементы обозначаются строчными буквами с двойными индексами: aij, bij , cij …, в которых индекс i указывает номер строки (он всегда стоит на первом месте), индекс j – номер столбца, в которых расположен этот элемент.
ОБОЗНАЧЕНИЕ МАТРИЦЫ
номер строки
номер столбца
элемент матрицы

Общий вид произвольной матрицы размера mxn
Краткая форма записи матрицы общего вида
ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ

Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ (элементы с одинаковыми индексами).
Главная диагональ
Побочная диагональ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Для матриц n-порядка(nxn)
Для матриц размера nxm
Главная диагональ
Побочная диагональ
Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего правого угла, образуют побочную диагональ.

- Какой размер имеет данная матрица?
- Назовите элемент: 3 строки 2 столбца; 5 строки 4 столбца
- Назовите позиции элементов: -3 и 5 в матрице
ЗАДАНИЕ
- Назовите элементы главной и побочной диагонали

Если m≠n, то матрица называется прямоугольной.
Если m=n, то матрица называется квадратной (n-ного порядка).
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МАТРИЦ
Прямоугольная матрица размера 4x3
Квадратная матрица 3-го порядка

Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого порядка, размерностью [1x1].
Матрица типа [1xn] называется матрица-строка:
Матрица типа [mx1] называется матрица-столбец:
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МАТРИЦ

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, все элементы которой, расположенные на главной диагонали, равны между собой, называется скалярной.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДЛЯ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной и обозначается E.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (нуль-матрицей) и обозначается буквой О.
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, называют симметричной матрицей.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые их них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические.
1. РАВЕНСТВО МАТРИЦ.
Пример:
Матрицы А и В равны между собой (A=B)

2. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
Пример:

3.ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ.
Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового размера!!!!!
Пример:

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ:

4.УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.
Пример:
Матрица (–1)×А называется противоположной матрице А и обозначается –А. Очевидно, что A+(-A)=O для любой матрицы А.
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО:

Пример2:

5.УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ.

2x3
3x3
2x3

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ:

Иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла.
Матрица A и B называются перестановочными, если АВ = ВА, в противном случае A и B называются неперестановочными.

6. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.
Пример:

7. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ.
Пример:

Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функция. Такая матрица называется функциональной.

Пример:
Решение: