Алгебра и начала анализа.11 класс.

Тема: «Производная».

Знания и навыки учащихся.
Знать: определение производной, формулы производных элементарных функций, простейшие правила вычисления производных, графики известных учащимся функций;
Уметь: использовать определение производной при нахождении производных элементарных функций, применять понятие при решении физических задач.

Изучение нового материала.
Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением.

Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления разностей; это название появилось уже в конце 17 в., то есть при рождении нового метода.

Средняя скорость.
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s(t).Рассмотрим промежуток времени от t до t+h, где h- малое число. За это время точка прошла путь s(t+h)-s(t).
Средняя скорость движения точки

Мгновенная скорость
При уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью

Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке ,
х- точка этого промежутка и число h≠0 такое ,что х + h также принадлежит данному промежутку .
Тогда предел разностного отношения f(х + h) - f(х) при h 0 h называется производной функции f(х) в точке (если предел существует).

Обозначение lim – сокращение латинского слова limes (межа ,граница);
уменьшая , например, h, мы устремляем значения
к «границе» f (x).
Термин «предел» ввел Ньютон. Если функция f (x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке.

Используя определение производной, найти f(х), если
1) f(х)=3х+2 ;
2) f(х)=5х+7 ;
3)f(х)=3 -5х ;
4) f(х)=-3х+2

С помощью формулы (kх+b)=k найти производную функцию:
f(х)=4х ;
f(х)=-7х+5;
f(х)=-5х-7

Найти мгновенную скорость движения точки, если закон ее движения s(t) задан формулой:

Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t. Найти среднюю скорость движения точки на отрезках[0;2],[2;3],[3;3,5].

Точка движется по закону s(t) =1+3 t. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени:
1) от t=1 до t=4; 2) от t=0,8 до t=1.

Найти мгновенную скорость движения точки, если :
1) s(t)=2t+1;
2) s(t)=2-3t.

Домашняя работа.
№ 780(2,4),№781(2,4).

Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t. Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0;1], [1;2], [2;3].

Определить скорость тела, движущегося по закону, в момент времени: 1) t =5 2) t=10