Арифметика Л.Ф. Магницкого – «врата учёности» М.В. Ломоносова

М.В. Ломоносов (1711-1765), великий русский учёный, основатель Московского университета
Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.

Введение
В 1703 году вышло первое русское печатное руководство под длинным заглавием «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на словенский язык переведённая и во едино собрана и на две книги разделена…Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого».
В книге были сведения из механики, физики, гидравлики, метеорологии, навигации, корабельного дела и пр., то есть научный материал, который имел исключительное значение для всего русского народа, в том числе для поморов и М.В. Ломоносова.

Арифметике любезно оучися,
В ней разных правил и штук придержися,
Ибо в гражданстве к делам есть потребно…

Цель работы – исследовать «Арифметику»
Магницкого.
Задачи работы:
1. Показать значимость «Арифметики» Магницкого.
2. Рассмотреть приёмы решения «фальшивых»
задач, предложенные Магницким.
3. Продемонстрировать решение задач из
«Арифметики» Магницкого.
4. Выяснить, верно ли «фальшивое» правило.
Методы исследования:
Поиск, анализ и синтез различных источников информации (литературы, интернет-ресурсов);
Самостоятельная оценка методов решения задач; 3. Самостоятельное решение задач.
4. Самостоятельное составление задач.

Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1742) вышел из народа. «Магницкий» – псевдоним, который придумал для него Пётр I. Распутывая трудности, возникшие при создании Навигационной школы – первого в России технического учебного заведения, Пётр пришёл в восторг от разговора с этим молодым соотечественником и сравнил его с магнитом, притягивающим к себе разнообразные знания и нужных людей.
Навигационная школа

Cоздание и значение «Арифметики»
Почти каждое старинное русское руководство по математике начинается с разъяснения значения этой науки для человека. Изобретение арифметики и геометрии приписывается чаще всего Пифагору (греческому философу и математику VI века до н.э.). Эту традицию продолжает и Магницкий. В своей «Арифметике» на титульном листе он изобразил, кроме Пифагора, ещё и Архимеда, и написал:
Архимедес же тут представлен,
Древний философ велик явлен,
Где с ним и другой равный ему
Лицу представлен есть твоему.
Оный Архимед и Пифагор
Излиша яко воды от гор,
Первые были снискатели,
Сицевых наук писатели,
Равно об водам излияша,
Многи науки в мир издаша

Первая страница «Арифметики»
На первой странице книги изображён дворец науки. На престоле сидит царевна «Арифметика», в её правой руке символический ключ – это ключ ко всем знаниям. Без арифметики нет доступа к другим наукам. К познанию арифметики ведут пять ступеней: счисление, сложение, вычитание, умножение и деление.

Размер книги 312 x 203мм, в ней 331 лист, то есть 662 страницы, набранные славянским шрифтом.
«Арифметика» Л.Ф. Магницкого в музее М.В. Ломоносова в селе Ломоносово

Таблица умножения из «Арифметики»
В «Арифметике» Магницкого рассматривается пять действий: нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление.
Магницкий впервые ввёл термины «множитель», «делитель», «произведение», «извлечение корня», изменил устаревшие слова «тьма, легион» словами «миллион, биллион, триллион, квадриллион».
В «Арифметике» Магницкий впервые использует арабские цифры.

«Фальшивое» правило
«Арифметика» Магницкого содержала много такого, что полезно знать изучающему математику и в наше время. В «Арифметике» Магницкого были задачи, которые имели преимущественно практический характер. Они решались по правилам и приложенным к ним образцам. Мы остановимся на «фальшивом» правиле. Так называют способ решения задач, который теперь известен под названием «правила ложного положения». При помощи этого правила в старинном руководстве решаются задачи, приводящие к уравнениям первой степени.

Задача. «Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и пол столько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня в учении 100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?»
Решение «фальшивой» задачи
Решение современным методом:
Пусть x учеников было у учителя изначально, тогда после того как сложили 2x, 0.5x, 0.25x и 1, то стало 100 учеников. Составим уравнение:
2x+0.5x+0.25x+1=100 ;
2.75x=99 ;
X=36.
Ответ: в классе было 36 учеников.

Задача. «Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и пол столько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня в учении 100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?»
Способ решения Магницкого.
Делаем первое предположение: учеников было 24.
Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, пол столько, четверть столько и 1»; имели бы:
24 + 24 + 12 + 6 + 1=67
То есть на 100 – 67= 33 меньше (чем требовалось по условию задачи); число 33 называем «первым отклонением».
Делаем второе предположение: учеников было 32; тогда имели бы:
32 + 32 + 16 + 8 + 1=89,
То есть на 100 – 89=11 меньше (второе отклонение).
На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, даётся правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:
Ответ: учеников было 36.

Если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию, пользуемся тем же правилом: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений.
Например:
Первое предположение: 52.
52 + 52 + 26 + 13 + 1=144.
Получили на 144 – 100=44 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 40.
40 + 40 + 20 + 10 + 1=111.
Получили на 111 – 100= 11 больше (второе отклонение).
Задача. «Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и пол столько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня в учении 100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?»
Ответ: учеников было 36.

Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы. Например:
Первое предположение: 60.
60 + 60 + 30 + 15 + 1=166.
Получили на 166 – 100=66 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 20.
20 + 20 + 10 + 5 + 1=56.
Получили на 100 – 56=44 меньше (второе отклонение).
Задача. «Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и пол столько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня в учении 100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?»
Ответ: учеников было 36.

Задача
«Две девочки оформляют кабинет к трёхсотлетию М.В. Ломоносова. Они загадали по числу и сказали их друг другу. После чего первая говорит второй: «Если сложить моё число и 1
3 твоего, то получится столько сколько сейчас было бы Ломоносову,
то есть 300». А вторая говорит первой: «Если сложить моё число и
1
2 твоего, то будет тоже 300». Какое число загадала каждая?

Решение «фальшивым методом»
Делаем 1 предположение: первая девочка загадала число 220;
тогда по смыслу задачи вторая загадала 3(300 – 220)=240
Значит, 240+110=350
350 – 300=50 (первое отклонение)
Делаем 2 предположение: первая девочка загадала число 270;
тогда вторая загадала 3(300 – 270)=90
Значит, 90+135=225
300 – 225=75(второе отклонение)
Воспользуемся уже приводимым ранее правилом:
50х270+75х220
75+50
=
240
Получается первая загадала – 240,
Тогда вторая загадала – 3(300 – 240) = 180
Ответ: 240 и 180.

Верно ли «фальшивое» правило
В решениях «фальшивых» задач всегда отыскивается какое-то одно неизвестное число. Если в задаче и другие неизвестные, то они с помощью условий задачи могут быть выражены через это единственное неизвестное число. Это неизвестное число, обозначим его за x, всегда удовлетворяет уравнению ax+b=c, где a, b и c – некоторые числа. Число с известно, числа же a, b можно вычислить по условию задачи. Взяв некоторое число x1 и проделав с ним положенные операции, мы находим некоторое число с1 . Повторив те же операции с числом x2, получим новое число с2.
Из равенств ax1 + b=c1, ax2 + b=c2 выводим

В то же время известно, что ax + b=c. Это даёт нам a(x – x2) = c – c2,
Если оба числа c1, c2 больше, чем с, то имеем
Если c1 < c, c2 < c, то
Если же с1 > c и c2 < c, то
Таким образом, в каждом случае получаем именно ту последовательность вычислений, которая предписывается «фальшивым» правилом.
I
I

Заключение
В процессе исследования:
мы выяснили, что в учебнике Магницкого использованы традиции русских математических рукописей, но в нем значительно улучшена система изложения материала: вводятся определения, осуществляется плавный переход к новому, появляются новые разделы, задачи, приводятся дополнительные сведения;
мы убедились, что «Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. Недаром Ломоносов называл её «вратами учёности»;
мы решили и составили задачи на «фальшивое» правило из «Арифметики» Магницкого. Решения некоторых из них продемонстрировали в работе;
мы выяснили, для каких задач верно «фальшивое» правило;
мы пришли к выводу, что некоторые из рассмотренных в работе методов решения задач положили основу современным методам или наоборот с течением времени перестали использоваться из-за нерациональности.
Таким образом, цель работы достигнута.

«Арифметика» Магницкого поддержала стремление М.В. Ломоносова учиться. Обладая поморской «упрямкой», он пошёл в путь за знанием. А знание – главная сила в жизни.