Двугранный угол

Упражнение 1
Какой угол образует ребро двугранного угла с любой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла?
Ответ: 90о.

Упражнение 2
Плоскости двух равнобедренных треугольников с общим основанием образуют двугранный угол. Верно ли утверждение о том, что высоты, проведенные к общему основанию треугольников, образуют линейный угол двугранного угла?
Ответ: Да.

Упражнение 3
Треугольник MAB и квадрат ABCD заданы таким образом, что MB - перпендикуляр к плоскости квадрата. Какой угол можно считать углом между плоскостями AMD и ABC?
Ответ: MBC.

Упражнение 4
В правильной треугольной призме найдите угол между боковыми гранями.
Ответ: 60о.

Упражнение 5
В кубе A…D1 найдите угол наклона плоскости ABC1 к плоскости ABC.
Ответ: 45о.

Упражнение 6
Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Упражнение 7
Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.
Ответ: Две биссектральные плоскости.

Упражнение 8
Через сторону BC треугольника ABC проведена плоскость α под углом 30° к плоскости треугольника. Высота AD треугольника ABC равна a. Найдите расстояние от вершины A треугольника до плоскости α.

Упражнение 9
Через катет BC=a равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (угол C равен 90°) проведена плоскость α, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

Упражнение 10
Через сторону BC треугольника ABC проведена плоскость под углом 30° к плоскости треугольника; угол C равен 150°, AC = 6. Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости.
Ответ: 1,5.

Упражнение 11
Дан квадрат ABCD, через вершину D параллельно диагонали AC проведена плоскость α, образующая с диагональю BD угол 60°. Чему равен угол между плоскостью квадрата и плоскостью α?
Ответ: 60о.

Упражнение 12
Основанием высоты четырехугольной пирамиды является точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Верно ли, что двугранные углы, образованные боковыми гранями пирамиды с плоскостью основания, равны, если основанием пирамиды является: а) квадрат; б) параллелограмм; в) ромб; г) равнобедренная трапеция?
Ответ: а) Да;
б) нет;
в) да;
г) нет.

Упражнение 13
В основании прямой призмы параллелограмм со сторонами 4 дм и 5 дм. Угол между ними 30°. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, если известно, что она пересекает все боковые ребра и образует с плоскостью основания угол 45°.

Упражнение 14
Боковое ребро прямой призмы равно 6 см. Ее основание – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 2 см. Найдите площади сечений призмы плоскостями, проходящими через каждый из данных катетов и образующими углы 60° с плоскостью основания.
Ответ: 6 см2.

Упражнение 15
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины двух сторон основания и образующей угол 45° с его плоскостью, если известно, что плоскость пересекает: а) только одно боковое ребро призмы; б) два ее боковых ребра.

Упражнение 16
Ребро куба равно a. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через сторону основания, если угол между этой плоскостью и плоскостью основания равен: а) 30°; б) ϕ.

Упражнение 17
Через середины двух смежных сторон основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол ϕ и пересекающая три боковых ребра призмы. Найдите сторону основания, если площадь сечения равна Q.

Упражнение 18
Найдите двугранные углы октаэдра.

Упражнение 19
Найдите двугранные углы икосаэдра.