Коррекция нелинейных систем

Корректирующие устройства (КУ)
В качестве линейных КУ используются:
неединичные главные обратные связи (рис. а)
местные обратные связи, охватывающие нелинейные элементы (рис. б).

При расчете линейного КУ структурную схему нелинейной АСУ приводят к эквивалентной одноконтурной схеме с НЭ и эквивалентной линейной частью, с передаточной функцией:
для схемы на рис.а:
W°л(s) = Wлч(s)*Wос(s);
для схемы на рис. б:
W°л(s) = Wлч(s) + Wмос(s).

Компенсация влияния нелинейности (нелинейные КУ)
Позволяет рассматривать нелинейную АСУ как линейную относительно определенных входных воздействий.
В этом случае линеаризация заключается во включении последовательно или параллельно заданной нелинейности F(σ) компенсирующего НЭ с обратной нелинейной характеристикой 1/F(σ). При этом получаем эквивалентный линейный элемент.

Пример включения компенсирующей нелинейности
Линеаризация усилителя с зоной нечувствительности путем включения параллельно с ним усилителя с насыщением.
Хвых
Хвх
НЭ в исходной АСУ
Компенсирующий НЭ
НЭ после компенсации

Если нелинейность F(σ) присутствует в объекте управления ОУ, то линеаризация АСУ может быть осуществлена путем включения параллельно объекту управле-ния компенсирующей нелинейности 1/F(σ) и модели его линейной части Wм.лч.оу(s)

Вибрационная компенсация нелинейностей
НЭ проявляет себя как линейный, если на его вход вместе с полезным медленно изменяющимся сигналом g(t) подается высокочастотная периодическая составляющая u(t), такой частоты ω, что практически сигнал g(t)=const в пределах периода T = 2π/ω:
x(t) = g(t) + u(t),
Выходной сигнал также пред-
ставим в виде суммы средней,
медленно изменяющейся состав-
ляющей - F1(g) и колебатель-
ной функции - F2(u), близкой к
гармонической с частотой ω
Ун = F(x) = F[g(t) + u(t)] =
= F1(g) + F2(u).

F1(g) – среднее значение выходного сигнала НЭ за период.
При g=const :
F1(g)- постоянная составляющая ряда Фурье выходного сигнала НЭ,
F2(u)- сумма гармонических ряда.
y
x
x
t
c
-c
F1(g)
g
U(t)=A sin ω t, g=const
A
-A
g3=A
g2
g1
c

В пределах ±A статическая характеристика F1(g) линейна с коэффициентом передачи kу=c/A.
Чем больше A компенсирующих колебаний u(t), тем шире зона линейности НЭ, но kу уменьшается.
Выходной сигнал НЭ- ун поступает на вход линейной части. При большой частоте ω сигнала u(t) линейная часть (фильтр) их не пропускает, поэтому составля-ющей F2(u) можно пренебречь и тогда для разомкну-той АСУ:
Wр(s) = y(s)/ g (s) = kу Wлч(s).
При задающем воздействии g(t) < A
на частоте, превышающей частоту среза линейной части ω> ωср, нелинейная АСУ ведет себя как линейная.
Для формирования высокочастотного сигнала u(t) используется специальный генератор или собственные колебания АСУ(скользящий режим).

Скользящий режим
это режим работы
релейной системы,
характеризуется колебательным
движением изображающей точки вдоль линии переключения. Чем сильнее воздействие производной в цепи обратной связи, тем боль-ше поворачиваются линии переключения реле против часовой стрелки. Интенсивность зату-хания переходного процесса возрастает. Скользящий режим возникает, если в точке переключения угол наклона линии переключения равен или меньше угла наклона касательной к фазовой траек-тории, по которой движется изобража-ющая точка после переключения реле.

Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и АК в АСУ. Линейная часть задана:
Статическая характеристика НЭ- yн = F(x):
Решение. Запишем дифференциальное уравнение системы, описывающее ее свободное движение (g = 0, х = - у):
Заменим его системой уравнений первого порядка:
Разделим первое из уравнений на второе, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий, решение которого определяется нелинейным элементом НЭ:
(*)

Для НЭ с характеристикой F(x) = c*sign(x) уравнение (*):
Переключение реле происходит при x= 0. Линия переключения на фазовой плоскости совпадает с осью ординат. Справа от линии переключения (x > 0) уравнение (*) будет:
. Его интегрирование дает уравнение фазовой траектории (тип2):
,где c0 - постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Конкретному c0 соот-ветствует определенная кривая на фазовой плоскости справа от линии переключения. Эти кривые имеют асимптоту y = −kc.
Слева от линии переключения (x < 0) уравнение (*) принимает вид: что дает решение, согласно которому наносится семей- ство фазовых траекторий с асимпто- той y = kc в левой фазовой полуплоскости (тип1).

Введем в рассматриваемую
нелинейную АСУ корректирующую
гибкую обратную связь:
.
Из начального состояния x0 изоб- ражающая точка перемещается по фазовой траектории типа 1 до т.С на линии переключения AB. Здесь происходит переключение реле и далее точка движется по траектории типа 2 до т.D, где реле переключается в другую сторону, точка будет перемещаться по траектории типа 1. При увеличе- нии суммарного сигнала обратной связи реле переключается и точка перемещается по траектории типа 2 и так далее. Попав на линии пе-реключения на отрезок скольжения, изображающая точка двигается по нему к началу координат.
koc p
+ -

В уравнении фазовых траекторий
для рассматриваемой схемы:
F(x) = F(x+kocy),
уравнение линии переключения x+kocy = 0
y= + x/koc.
Введение дополнительной о.с. по производной приводит к наклону линии переключения, его направление определяется знаком о. с.
Движение изображающей точки на отрезке скользящего режима описывается уравнением:
х=х0е‾ . Нелинейная АСУ 2-го порядка проявляет себя в скользящем режиме как линейная система 1-го порядка, при этом движение ее не зависит от параметров прямой цепи и определяется только koc .
1/koc

Как видно из рис., скользящий режим возможен на тех участках, где фазовая траектория типа 2 проходит ниже линии переключения AB (после т. D). При начальном положении изображающей точки (x02, 0) после ее прихода по траек-тории типа 1 в т. D на линии переключе-ния сразу начинается скользящий режим. При начальном положении изображаю-щей точки (x03, 0) скользящий режим имеет место после переключения реле, когда изображающая точка скользит по линии переключения AB в четвертом квадранте. В последнем случае переход-ный процесс имеет перерегулирование.

АВ – отрезок скольжения на линии переключения.

Определим координаты отрезка АВ скользящего режима на фазовой плоскости из условия равенства наклонов линии переключения y = + x/koc
и касательной к фазовой траектории dy/dx = - 1/koc
= - 1 = -1 - k c yA = - kc koc
koc T T yA ; koc - T
-1 + k c yВ = kckoc
T T yВ . koc- T
Отрезок скользящего режима АВ тем больше, чем больше коэффициенты передачи прямой цепи и цепи обратной связи.

В рассматриваемом примере переключение реле происходит мгновенно, частота переключений бесконечно велика, а амплитуда колебаний бесконечно мала.
Это предельный скользящий режим: реле можно заменить эквивалентным пропорциональным звеном с коэффициентом передачи kp→∞.
Тогда эквивалентная передаточная функция АСУ:
Релейную АСУ можно представить эквивалентной схемой в виде интегрирующего звена, охваченного обратной связью, или просто в виде апериодического звена первого порядка.
Wэ(s)

При начальном положении системы x01 (т. M0) после переключения реле в точке M1 изобра-жающая точка по фазовой траектории типа 2 приходит в начало координат (состояние покоя). При этом переходный процесс будет иметь минимальное время, а режим работы системы будет оптимальным по быстродейст-вию. При заданной постоянной времени корректирующей цепи о.с. Toc такой режим будет существовать только для определенной группы начальных значений, когда изобража-ющая точка в начальный момент времени оказывается на траектории M0 M1 0 M ′ 1 M ′ 0 , проходящей через начало координат; во всех других случаях скользящий режим имеет место либо сразу после переключения реле, либо после нескольких переключений.

Чтобы процесс при любых начальных услови-ях был оптимальным по быстродействию, линией переключения должна быть сама фазовая траектория, проходящая через начало координат. Такая кривая линия переключения свидетельствует о нелинейном характере воздействия корректирующей о.с. Линия переключения не относится к фазовым траекториям. Но можно сделать так, что она будет совпадать с одной из фазовых траекто-рий. Тогда процесс в системе будет состоять из двух частей: подход к линии переключения по одной из траекторий, выбор которой зависит от начальных условий, и движение по линии переключения к положению равновесия.