Кривые постоянной ширины

Треугольник Рело
Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?
Оказывается, бывают. Примером такой кривой является кривая, придуманная французским ученым Ф. Рело (1829 – 1905), называемая «треугольник Рело».
Для его построения рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной a. С центром в вершине A и радиусом a проведем дугу BC окружности. Аналогично, с центрами в вершинах B и C и радиусом A проведем дуги окружности AC и AB. В результате получим искомую кривую, состоящую из трех дуг окружности. Ее ширина равна стороне a правильного треугольника.

Упражнение 1
Докажите, что периметр треугольника Рело равен длине окружности, диаметр которой равен ширине треугольника Рело.
Решение. Напомним, что длина дуги окружности с центральным углом φ и радиусом r равна φr. Так как треугольник Рело состоит из трех дуг окружностей, для которых r = a, φ = π/3, то их общая длина равна πr, т.е. равна длине окружности, диаметр которой равен ширине треугольника Рело.

Упражнение 2
Найдите углы треугольника Рело, образованные касательными к дугам окружностей в его вершинах.
Ответ. 120о.

Правильные многоугольники Рело
Кривые постоянной ширины можно получать не только из правильного треугольника, но и из правильных многоугольников с нечетным числом сторон. На рисунке показаны такие кривые для правильных пятиугольника и семиугольника.

Упражнение 3
Сторона правильного пятиугольника равна 1. Найдите ширину соответствующего треугольника Рело.

Упражнение 4
Найдите углы пятиугольника Рело, образованные касательными к дугам окружностей в его вершинах.
Ответ. 144о.

Неравносторонний треугольник
Рассмотрим три прямые, попарно пересекающиеся в точках A, B, C. Обозначим стороны треугольника ABC соответственно a, b, c.
На продолжении отрезка AB возьмем точку D1. С центром в точке A и радиусом r = AD1 проведем дугу окружности, соединяющую точку D1 и точку D2 на луче AC.
Далее, с центром в точке С и радиусом CD2 = r-b проведем дугу окружности, соединяющую точку D2 и точку D3 на луче BC.
Затем, с центром в точке B и радиусом BD3 = a+r-b проведем дугу окружности, соединяющую точку D3 и точку D4 на луче BA.
C центром в точке A и радиусом AD4 = a + r – b - c проведем дугу окружности, соединяющую точку D4 и точку D5 на луче CA.
C центром в точке C и радиусом CD5 = a + r - c проведем дугу окружности, соединяющую точку D5 и точку D6 на луче CB.
C центром в точке B и радиусом BD6 = r - c проведем дугу окружности, соединяющую точку D6 и точку D1 на луче AB. Получим замкнутую кривую.

Упражнение 5
Докажите, что полученная кривая имеет постоянную ширину. Найдите ее выражение через a, b, c и r.
Решение. Через точку E1 на дуге D1D2 и точку A проведем прямую. Ее точку пересечения с дугой D4D5 обозначим E4. Касательные к кривой в точках E1, E4 будут перпендикулярны отрезку E1E4. Следовательно, длина этого отрезка будет шириной кривой h в направлении прямой E1E4, h = r + a + r – b - c = 2r + a – b – c. Ясно, что это значение не зависит от выбора точки E1 на дуге D1D2.
Рассмотрим теперь точку E2 на дуге D2D3. Через нее и точку С проведем прямую. Ее точку пересечения с дугой D5D6 обозначим E5. Касательные к кривой в точках E2, E5 будут перпендикулярны отрезку E2E5. Следовательно, длина этого отрезка будет шириной кривой в направлении прямой E2E5. Она равна r – b + a + r - c = 2r + a – b – c = h. Ясно, что это значение не зависит от выбора точки E2 на дуге D2D3.
Аналогичным образом показывается, что для точек E3 дуги D3D4 ширина кривой также будет равна 2r + a – b – c = h.

Упражнение 6
Докажите, что длина полученной кривой равна длине окружности с диаметром, равным ширине h кривой.
Решение. Напомним, что длина l дуги окружности радиуса R и центральным углом φ выражается формулой l = φR.
Пусть углы треугольника ABC равны соответственно α, β, γ. Тогда длина дуги D1D2 αr, длина дуги D4D5 равна α(a + r – b – c). Их сумма равна αh.
Аналогично, сумма длин дуг D2D3 и D5D6 равна γh, сумма длин дуг D3D4 и D6D1 равна βh.
Таким образом, длина всей кривой равна αh + βh + γh = (α + β + γ)h = πh, т.е. равна длине окружности с диаметром h.