Квадратное уравнение и его корни

Знать: определение квадратного уравнения, различные способы решения квадратных уравнений
Уметь: верно и рационально решать квадратные уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида a x 2 + b x + c = 0
где х – переменная,
a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0.
a x2 + b x + c = 0
Первый коэффициент
Второй коэффициент
Свободный
член

Классификация .
Квадратные уравнения.
неполное
полное
а х2 + в х + с = 0
приведённое
x2+ p x + q = 0
c = 0;
a x2 + b x = 0
b = 0; c = 0;
a x2 = 0
b = 0;
a x2 + c = 0

Полное квадратное уравнение
ax²+bx+c=0,
а,b, c-заданные числа,
а≠0, x-переменная.
а - первый коэффициент,
в - второй коэффициент,
с - свободный член.

Корни квадратного уравнения
Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Когда уравнение решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравнение его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значение зовите тотчас.
О. Севастьянова

Научился сам - научи другого.
Девиз урока

Кроссворд
1. Уравнение вида ах²+вх+с=о
2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1.
3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни.
4. Числа а,в и с в квадратном уравнении.
5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
6. Равенство, содержащее неизвестное.
7. Неотрицательное значение квадратного корня.
8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии.
9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.
10. «Дискриминант» - по-латыни.
11. Коэффициент с квадратного уравнения.
12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов.
Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме.

Ответы к кроссворду:
1. Квадратное.
2. Приведенное.
3. Равносильное.
4. Коэффициент.
5. Корень.
6. Уравнение.
7. Арифметический.
8. Диофант.
9. Неполное.
10. Различитель.
11. Свободный.
12. Виет.
В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

История квадратных уравнений
Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связано с решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии.
Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения.
Какие ученые – математики занимались изучением уравнений, их классификацией, способами решения?

Математическое «Поле чудес»

Самостоятельная работа
Критерии оценки:
Оценка «3» -5-6 уравнений;
Оценка «4» -7-8 уравнений;
Оценка «5» -9-10 уравнений;
Карточка
Х2 -9=0
Х2 +6х =0
5 Х2 – 7х =0
5Х2 -8х +3=0
Х2 -7х -8 =0
12- Х2 =11
5х +2 =2-2 Х2
6х+х-1=0
(10х-4) (3х+4)=0
х(х-5) =-4

Тест.
1….уравнением называется уравнение ax²+bx+c=0, где a, b, c-заданные числа, а≠0,x-неизвестное.
2.Если ах²+bx+c=0-квадратное уравнение(а≠0),то b называют…
3.Корни квадратного уравнения
ax²+bx+c=0 вычисляют по
формуле… .
4. Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0 (a≠0) имеет два
различных действительных корня,
если b²-4ас… (<,>) 0.
1.Если ax²+bx+c=0 – квадратное
уравнение, то а называют … коэффициентом, с - … членом.
2.Корни квадратного уравнения
ax²+bx+c=0 (a≠0) вычисляют по формулам … .
3. Уравнение вида ax²+bx+c=0 (a≠0) называют … квадратным уравнением.
4.Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0 не имеет действительных корней, если
b²-4ac … (<,>) 0.

Ответы к тесту.
1.Квадратным
2.вторым коэффициентом
3.
4.>
1.первым, свободным членом
2.
3.полным
4<.

Решение квадратных уравнений
«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным.» Паскаль
В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик XII века. Его имя мы узнаем следующим образом:
Каждый получает один из 7 лепестков.
Игра проходит следующим образом: Ребята решают задания под своим цветом. Сумма ответов на лепестках зеленого цвета соответствует первой букве имени ученого, Светло-коричневого – второй букве, голубого – третьей букве, оранжевого - четвертой букве, розового – пятой букве, бирюзового – шестой букве, сиреневого – седьмой букве.
На табло записаны буквы и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. Группа учащихся с лепестками одного цвета называет свой ответ и на табло находит соответствующую букву.
В результате на доске вывешивается по одной букве и получается имя ученого
Б А С Х А Р К
2 7 3 -5 0 1 2/7 6

Творческое задание
Вот одна из задач индийского математика Χllв. Бхаскары
Составьте к стихотворению уравнение и упростите его:
Обезьянок резвых стая
всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмая
на поляне забавлялась.
А 12 по лианам.....
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
"
Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Алгоритм решения квадратного уравнения
Выполнить тождественные преобразования: перенесение выражения из правой части в левую, меняя знаки; деление обеих частей уравнения на одно и то же число; применение тождеств сокращенного умножения, приведение подобных членов, запись уравнения в стандартном виде.
2) Выделить в уравнении коэффициенты.
3) Вычислить дискриминант.
Если D > 0, то вычислить корни по общей формуле
Если D = 0, то вычислить корни по общей формуле
Если D ‹ 0, то корней нет

Решите уравнение по алгоритму:
4х2-10=4х-2х^2

Алгоритм решения квадратного уравнения:
ах²+вх+с=0
Определить
коэффициенты а,в,с
Если D<0, то
Вычислить дискриминант
D=в²-4ас
Если D=0, то
2 корня
Если D>0, то
1 корень
Уравнение не
имеет корней

Решение квадратных уравнений с параметром
Решите относительно х уравнение: х2 –ах =0
2. Найдите значение m, при котором квадратное уравнение 3х2 -2 mх-m+6=0, имеет один корень

Работа с учебником.
Вычислите дискриминант уравнения 3х2 – 18х-21=0.
Это и есть номер в учебнике

Задания по выбору
Франсуа Виет
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь, что за беда,
В числителе b, в знаменателе a.
Составьте квадратное уравнение по данным их корней:
А) 2 и -3
Б) 2 - √2 и 2 + √2
В) два положительных корня
Г) один отрицательный и один положительный корень
Решите тест:
Детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 4 м и 5 м обрамлен дорожкой одинаковой ширины. Бассейн вместе с дорожкой занимает площадь, равную 56 м2. Какова ширина дорожки? Выберите уравнение соответствующее условию задачи
А) (4+х) (5+х) =56
Б) 4(5+2х) =56
В) 5(4 +2х)=56
Г) (4+2х) (5 +2х) =56
бассейн
х
х
х
х

Нестандартная задача.
Участники совещания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?

Домашнее задание
Для сильных учащихся, решить всеми возможными способами уравнение
3х2 + 5 = 6х + 2х2
Остальные ученики решают уравнение х2 -8х +7 =0, всеми возможными или хотя бы одним способом.
Всем: составить квадратное уравнение: х1 =2, х2 =5,
или х1 =1 +√2, х2 =1 -√2,

Подведение итогов урока.
Вопросы классу:
Ребята! Что мы сегодня узнали на уроке?
В какой момент Вам было трудно? Почему?
Что больше всего запомнилось и понравилось? Почему?

Запомнили корни квадратного уравнения.