lektsiya 3 tsos

Цель лекции: Изучить спектры периодических и непериодических сигналов
План:
Ряды Фурье
Спектры периодических сигналов
Преобразование Фурье
Спектры непериодических сигналов

Ряд Фурье. Спектры периодических сигналов
Периодические негармонические функции можно разложить в ряд Фурье. Для этого периодическая функция должна удовлетворять условиям Дирихле:
Иметь конечное число разрывов первого рода (скачков) на периоде Т,
Иметь конечное число экстремумов (максимумов и минимумов).
Ряд Фурье имеет несколько форм записи:
Синусно-косинусная,
Вещественная,
Комплексная.

Периодические негармонические функции:

Синусно-косинусная форма ряда Фурье:

- постоянный коэффициент ряда Фурье
коэффициенты косинусной
составляющей ряда Фурье
коэффициенты синусной
составляющей ряда Фурье

– номер гармоники
– основная гармоника;
– постоянная составляющая,
нулевая гармоника ряда Фурье;
– коэфициенты ряда Фурье(амплитуды гармоник);
– частота основной гармоники
– период периодической функции.
– номер гармоники,

Вещественная форма ряда Фурье

Комплексная форма ряда Фурье
Комплексные коэффициенты ряда Фурье:
- комплексным частотным спектром
Комплексная форма:

Составляющие:
- амплитудным спектром
- фазовым спектром
Периодические функции имеют дискретный или
линейчатый спектр

Пример. Разложить в ряд Фурье прямоугольный импульс

Периодические функции имеют линейчатый спектр, т.е.
спектр периодических функций дискретный.

Спектр непериодических сигналов можно получить с помощью преобразования Фурье.
Преобразование Фурье позволяет получить спектральные функции непериодических функций.
Непериодическую функцию времени, удовлетворяющую условиям Дирихле и абсолютно интегрируемая в бесконечных пределах может быть преобразована в частотную область с помощью преобразования Фурье.

Преобразование Фурье
прямое двухстороннее преобразование Фурье
Если выполняется условие:
преобразование Фурье называется односторонним преобразование Фурье

непериодическая функция времени
спектральная плотность, спектральная функция,
спектр непериодической функции
обратное преобразование Фурье

абсолютно интегрируемые функции в бесконечном интервале
Преобразование Фурье – частный случай преобразования
Лапласа при

непериодическая функция времени
спектральная плотность, спектральная функция,
спектр непериодической функции
обратное преобразование Фурье

Эти формулы позволяют преобразовать непериодическую функцию времени в функцию частоты
Так как спектральная функция комплексная величина, ее можно показать в показательной и в алгебраической форме.

Модуль называется амплитудный спектр, четная функция
Аргумент называется фазовый спектр, нечетная функция.

1. Определить спектр функции
Изображение по Лапласу функции

Спектральная функция:
Фазовый спектр:
Амплитудный спектр:

Графики
Спектр непериодической функции сплошной

Пример. Спектр прямоугольного импульса

Спектр непериодической функции сплошной.