Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Элементы, из которых составлена матрица, называют элементами матрицы.
Пример:
– элемент первой строки и третьего столбца
a24
– элемент второй строки и четвертого столбца
a13

квадратная порядка n
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij=bij .

1.
матрица – столбец длины m
2.
матрица – строка длины n
3.
нулевая матрица

4.
Условную линию в квадратной матрице порядка n, на которой расположены элементы a11, a22, … , ann, называют главной диагональю этой матрицы.
Условную линию в квадратной матрице порядка n, на которой расположены элементы a1n, a2n-1, … , an1, называют побочной диагональю.
диагональная матрица
E =
единичная матрица

5.
треугольные матрицы
6.
трапециевидная матрица

7.
– ступенчатая
– не ступенчатая

.
(-1)A
– противоположная матрице A
-A

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

.

Матрицы A и B, для которых AB=BA, называют перестановочными.
1.
2.
3.
4.
AE=
EA=
A
AO=
OA=
O

Определение. Пусть A – матрица размера . Матрица размера , полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A.
Операция нахождения матрицы AT называется транспонированием матрицы A.
1.
2.
3.
4.
(AT)T=
A
(A+B)T=
AT+BT

Факториал натурального числа n:
n!
0!=
1
Расположение n чисел 1, 2, 3, …, n в любом порядке называется перестановкой этих чисел.
Пусть дана некоторая перестановка чисел 1, 2, 3, …, n:
Количество пар, образующих инверсию в переста-новке, называется числом инверсий в перестановке.

Определение. Пусть A – квадратная матрица порядка n. Определителем матрицы A (определителем порядка n) называется сумма n! членов, составлен-ных следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы, причём произведение берется со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают четное число, в противном случае – со знаком «минус».

Определение. Пусть A – квадратная матрица порядка n. Определителем матрицы A (определителем порядка n) называется сумма n! членов, составленных следующим образом: членами опреде-лителя служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы, причём произведение берется со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают четное число, в противном случае – со знаком «минус».

Правило треугольников:

Если все элементы k-той строки определителя |A| являются суммами двух элементов, то определи-тель равен сумме двух определителей |A1| и |A2|, у которых все строки кроме k-той совпадают со стро-ками |A|, а k-тая строка в определителе |A1| состоит из первых слагаемых, а в определителе |A2| – из вторых слагаемых.
1.
При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
2.
При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
3.
Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
4.

5.
Определитель равен нулю если:
а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей;
б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца);
в) он имеет хотя бы две пропорциональные (т.е. отличающиеся множителем) строки (столбца);
г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов).

6.
7.

Пусть A – матрица размера
k – некоторое число,
Определение. Выберем в матрице A произвольно k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим определитель Mk. Этот определитель называют минором k-го порядка матрицы A (ее определителя).

Определение. Пусть A – квадратная матрица порядка n. Выберем в A минор k-го порядка Mk (выберем строки с номерами i1,i2,…,ik и столбцы с номерами j1, j2,…, jk). Вычеркнем из матрицы A строки и столбцы, из элементов которых состоит минор Mk. Определитель Mk*, составленный из оставшихся элементов, называется дополнитель-ным минором к минору Mk.
aij
Mij – дополнительный минор
(порядок n-1)
Aij – алгебраическое дополнение:

Следствие (теоремы Лапласа). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
|A|
|A|
(разложение определителя по i-той строке и j-тому столбцу соответственно)

= –102

Если А имеет обратную, то
1. А – квадратная.
2. Обратная матрица единственная.
3. Определитель матрицы А отличен от нуля.

Теорема. Пусть А – квадратная матрица порядка n. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A-1 может быть найдена по формуле:
где S – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е.

Определение. Рангом матрицы называют макси-мальный порядок ее миноров, отличных от нуля.
Базисным минором матрицы называют её отлич-ный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базис-ными.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида:
1.
умножение некоторой строки (столбца) на ненулевое число;
2.
прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произволь-ное число;
3.
перестановка двух строк (столбцов);
4.
вычеркивание нулевой строки (столбца).

Определение. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если она может быть получена из А эле-ментарными преобразованиями.
Теорема (об инвариантности ранга матрицы отно-сительно элементарных преобразований). Ранг мат-рицы инвариантен относительно элементарных пре-образований (эквивалентные матрицы имеют равные ранги).
1) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы А эквивалентную матрицу В, имеющую ступенчатый вид;
2) находим в матрице В базисный минор и определя-ем ранг матрицы В и, следовательно, матрицы А.

r(A) = 2
– базисный минор
Пример

Определение. Строки (столбцы) S1, S2, … , Sk называют линейно зависимыми, если существуют числа α1, α2, … , αk, не все равные нулю одновременно, такие, что линейная комбинация α1S1 + α2S2 + … + αkSk = 0 (нулевой матрице).
Если же равенство α1S1 + α2S2 + … + αkSk = 0 возможно только при условии α1 = α2 = … = αk = 0, то строки (столбцы) S1, S2, … , Sk называют линейно независимыми.
S1, S2, … , Sk – строки (столбцы) матрицы А
α1, α2, … , αk – некоторые числа
α1S1 + α2S2 + … + αkSk – линейная комбинация
S1
S2
S3
S4
=
= (
0
0
0)
0
= O
S1, S2, S4 – линейно
зависимы

Лемма (о линейной зависимости). Строки (столбцы) S1, S2, … , Sk линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.
Теорема (о базисном миноре). 1. Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы.
2. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Следствие (критерий равенства нулю определи-теля). Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Линейное уравнение
– числа.
– коэффициенты уравнения
b – свободный член
Если , то уравнение называют однородным.
Если , то уравнение называют неоднородным.

Система m линейных уравнений с n неизвестными,
т.е. система вида
Тогда система принимает вид:
AX = B
(*)

Упорядоченный набор чисел c1, c2, …, cn называется решением системы (*), если он обращает в тож-дество каждое уравнение системы.
– решение системы

Теорема (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.
Теорема (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (*) имеет единствен-ное решение тогда и только тогда, когда ранг матри-цы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е.

1) Матричный метод
Пусть m = n и .
Системы такого вида называются невырожденными.
1.
решение единственно.
2.
по теореме об обратной матрице А имеет обратную.

2) Метод Крамера
Теорема (Крамера). Если в системе линейных урав-нений число уравнений m и число неизвестных n совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
где , а – определитель, получаемый из определителя заменой его i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример

Определение. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобра-зования следующего вида:
1.
умножение обеих частей уравнения на ненулевое число;
2.
прибавление к одному уравнению другого, умноженного на произвольное число;
3.
перестановка двух уравнений;
4.
вычеркивание одного из двух пропорциональ-ных или одинаковых уравнений.
Определение. Две системы называются эквивалент-ными (равносильными), если их решения совпадают.

Схема метода Гаусса.
Прямой ход
1. Элементарными преобразованиями приводим систему к эквивалентной системе, имеющей расширенную матрицу ступенчатого вида.
2. Выясняем, будет ли система совместна, сравнивая ранги основной и расширенной матриц полученной системы.
3. Выбираем в основной матрице полученной системы базисный минор треугольного вида.
4. Переносим в правую часть системы слагаемые с неизвестными, коэффициенты которых не вошли в базисный минор.

Обратный ход
5. Начиная с последнего уравнения (в обратном порядке) выражаем все зависимые переменные через свободные. Система, в которой зависимые пере-менные выражены через свободные, называется общим решением системы.
6. Придавая свободным переменным конкретные числовые значения, получаем бесконечно много решений исходной системы. Каждое из этих решений называют частным решением системы.

1.
2.
система совместна
3.
4.
5.
– общее решение

(**)
, т.е. система совместна
– решение.
Другие решения называют нетривиальными.
Это решение называют нулевым или тривиальным.
Теорема (критерий существования нетривиальных решений). Система линейных однородных уравнений обладает нетривиальным решением тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы меньше числа неизвестных, то есть .

С1, С2, … , Сk – матрицы-столбцы, являющиеся
решениями системы (**)
α1, α2, … , αk – некоторые числа
α1С1 + α2С2 + … + αkСk – линейная комбинация
Теорема (свойство решений системы линейных однородных уравнений). Любая линейная комби-нация конечного числа решений системы (**) является решением этой системы.

Теорема (существования фундаментальной системы решений). Пусть r – ранг матрицы системы (**). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n – r линейно независимых решений таких, что любое другое её решение будет их линейной комбинацией. Эти решения называются фундаментальной системой решений системы (**).
1.
Находим общее решение системы.
2.
Записываем любой отличный от нуля определитель порядка n – r.
3.
Записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк поочередно.

– общее решение
1)
3)
2)
(1, 0, 1, 0, 0), (– 1, 1, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 0, 1)
– фундаментальная система решений