Методы теории массового обслуживания

каналы
обслуживания
1-ый канал
2-ый канал
n-ый канал
входящий
поток заявок
обслуженные
заявки
Кассы
Ремонтные мастерские
Телефонные станции
…
ЦОВ 112
АС машины
Покупатели
Ремонтируемая техника
Звонки
…
Вызовы абонентов
Объемы АСР
очередь на
обслуживание
Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Предмет теории массового обслуживания - установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью (эффективностью) обслуживания.
Когда СМО неэффективна?
СМО не справляется с заявками, образуются огромные очереди, часть заявок уходит необслуженными (например, заправка на АЗС в час пик, очередь на эскалатор или в лифт в многоэтажном здании)
СМО простаивает, заявок мало, а каналов много, их производительность избыточна (например, огромный торговый центр в малолюдном месте, мощный автосервис в месте, где мало машин)

Эффективность
с точки зрения владельцев СМО
с точки зрения клиентов СМО
максимальная загрузка каналов, выжать полную прибыль
минимальное количество высокопроизводительных каналов
минимальные очередь и время обслуживания
максимальное количество каналов с высоким качеством обслуживания
Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
потери клиентов от ожидания в ед. времени
затраты на обслуживание в ед. времени
общие затраты
оптимальный уровень обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Классификация СМО
Системы с ожиданием (с очередью)
- заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов
СМО с отказами
- заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ», покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует
Системы с неограниченным ожиданием
- заявка, поступившая когда нет свободных каналов, становится в очередь и ждет сколько нужно освобождения канала, который примет ее к обслуживанию
Системы с ограниченным ожиданием
- заявка, поступившая когда нет свободных каналов, становится в очередь и ждет определенное время (мест в очереди) освобождения канала, который
примет ее к обслуживанию

Методы теории массового обслуживания
среднее количество заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени (для кофейных аппаратов)
средний процент заявок, получающих отказ и покидающих СМО необслуженными (клиенты в переполненной парикмахерской)
вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию (боевой дрон противника в полосе ПВО)
среднее время ожидания в очереди (больной в скорой медицинской помощи)
среднее количество заявок, находящихся в очереди (автомашины на площадке АЗС)
средний доход, приносимый СМО в единицу времени (для всех)
Показатели эффективности СМО

Случайное время обслуживания
Методы теории массового обслуживания
Очереди нет,
система не
простаивает
Очереди нет,
система простаивает
Очередь есть,
заявки ждут
Очередь есть,
заявки уходят

Методы теории массового обслуживания
Случайное время обслуживания
Пуассоновский (количество заявок в настоящий момент не зависит от количества заявок в прошлом, заявки поступают по одной), количество заявок зависит только от длины промежутка времени
Показательное (оставшееся время обслуживание не зависит от того, сколько уже длилось обслуживание)
гибель-размножение

Методы теории массового обслуживания
Одноканальная СМО с отказами
P0+P1=1
Абсолютная пропускная способность - среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени А
Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок q

Методы теории массового обслуживания
При t→∞

Методы теории массового обслуживания
СМО – телефонная линия
интенсивность потока вызовов – λ=0,8 выз/мин
средняя продолжительность разговора – tоб=2 мин
Интенсивность обслуживания
Относительная пропускная способность
Вывод: в установившемся режиме система будет обслуживать около 38% вызовов
Абсолютная пропускная способность
Вывод: система способна осуществить в среднем 0,3 разговора в мин

Методы теории массового обслуживания
Вывод: 62% вызова будет получать отказ
Вероятность отказа Pотк=0,62
В идеале (при неслучайном характере заявок и обслуживаний) пропускная способность равна
В реальности (при случайном характере заявок и обслуживаний) пропускная способность равна
т.е. в 1,7 раза меньше. Случайность осложняет работу!

Метод марковских случайных процессов
Задание 22: Привести пример одноканальной СМО с отказами и рассчитать её параметры:
P0 , P1 , q , A , Pотк

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Многоканальная СМО с отказами
S0 – канал свободен
S1 – занят один канал, остальные свободны
…
Sk – заняты k каналов, остальные свободны
…
Sn – заняты все каналы
При t→∞
k=1,2,…,n

Методы теории массового обслуживания
- среднее число занятых каналов
приведенная интенсивность потока заявок (среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания 1-ой заявки)

Методы теории массового обслуживания
СМО – 3-х канальная телефонная линия
интенсивность потока вызовов – λ=0,8 выз/мин
средняя продолжительность разговора – tоб=2 мин
Сумма равна 0,22+0,35+0,28+0,15=1

Методы теории массового обслуживания
Pотк=0,62
Pотк=0,15
меньше в 4 раза
больше в 2,2 раза
больше в 2,3 раза
Вывод: занято в среднем меньше половины каналов (1,36), зато вероятность обслуживания высокая (0,85)

Метод марковских случайных процессов
Задание 23: Привести пример многоканальной СМО с отказами и рассчитать её параметры:
P0 , Pk , q , A , Pотк ,

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Одноканальная СМО с ожиданием,
очередь ограничена m заявками
очереди нет
S0 – канал свободен
S1 – канал занят, очереди нет
S2 – канал занят, одна заявка в очереди
…
Sk – канал занят, (k-1) заявок в очереди
…
Sm+1 – канал занят, m заявок в очереди

Методы теории массового обслуживания
среднее число заявок, находящихся в очереди
среднее число заявок, связанных с системой

Методы теории массового обслуживания
среднее время ожидания заявки в очереди
среднеe время пребывания заявки в системе
АЗС - СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой):
площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более 3 машин одновременно (m = 3)
поток машин для заправки λ = 1 (машина в минуту)
процесс заправки продолжается в среднем tоб= 1,25 мин.

Методы теории массового обслуживания

Метод марковских случайных процессов
Задание 24: Привести пример одноканальной СМО с ожиданиями и рассчитать её параметры:
P0 , Pk , q , A , Pотк ,
,
,
,

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Одноканальная СМО с ожиданием,
очередь не ограничена m→∞
k=0,1,…
q=1 A=λ

Методы теории массового обслуживания
Многоканальная СМО с ожиданием,
очередь ограничена m заявками
S0 – все каналы свободны
S1 – занят 1 канал, остальные свободны
…
Sk – заняты k каналов, остальные свободны
…
Sn – заняты все n каналов
Sn+1 – заняты все n каналов, 1 заявка в очереди
Sn+r – заняты все n каналов, r заявок в очереди
Sn+m – заняты все n каналов, m заявок в очереди

Методы теории массового обслуживания
…

Методы теории массового обслуживания
среднее число занятых каналов
- среднее число заявок, находящихся в очереди
- среднее число заявок, связанных с системой
- среднее время ожидания заявки в очереди
- среднеe время пребывания заявки в системе

Методы теории массового обслуживания
АЗС - СМО с двумя каналами обслуживания (двумя колонками):
площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более 3 машин одновременно (m = 3)
поток машин для заправки λ = 2 (машины в минуту)
процесс заправки продолжается в среднем tоб= 2 мин.
n = 2; т = 3; λ = 2; μ = 1/ tоб = 0,5; ρ = 4; χ = ρ/n= 2.
машины в мин.

Метод марковских случайных процессов
Задание 25: Привести пример мноканальной СМО с ожиданиями и рассчитать её параметры:
P0 , Pk , q , A , Pотк ,

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Многоканальная СМО с ожиданием,
очередь не ограничена, m→∞
будет установившийся режим (очередь ограничена)
будет неустановившийся режим (очередь растет до бесконечности)

Методы теории массового обслуживания
Каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому:

Методы теории массового обслуживания
АЗС - СМО с двумя каналами обслуживания (двумя колонками):
других АЗС в округе нет, очередь может неограниченно расти
поток машин для заправки λ = 0,8 (машины в минуту)
процесс заправки продолжается в среднем tоб= 2 мин.
n = 2; λ = 0,8; μ = 1/ tоб = 0,5; ρ = 1,6; χ = ρ/n= 0,8.
χ < 1, поэтому очередь не растет безгранично и существует предельный стационарный режим работы СМО
А = λ = 0,8
Вероятность отсутствия очереди у АЗС

Метод марковских случайных процессов
Задание 26: Привести пример мноканальной СМО с ожиданиями и рассчитать её параметры:
P0 , Pk , q , A , Pотк ,

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Многоканальная СМО с ограниченным ожиданием
S0 – все каналы свободны
S1 – занят 1 канал
S2 – заняты 2 канала
…
Sn – заняты все n каналов
Sn+1 – заняты все n каналов, 1 заявка в очереди
…
Sn+r – заняты все n каналов, r заявок в очереди
среднее время пребывания заявки в очереди
интенсивность
потока уходов

Методы теории массового обслуживания
Многоканальная СМО с ограниченным ожиданием
достаточно до r
Pотк
не имеет смысла

Дано:
статистика ДТП на территории субъекта РФ
производительность АС вертолетов по ведению АСР при ДТП
Найти:
требуемое количества АС вертолетов для спасения пострадавших в ДТП
Формулировка задачи:
АС вертолеты рассматриваются в качестве системы массового обслуживания
каждый из АС вертолетов является каналом обслуживания
каждое ДТП, на которое прибывают АС вертолеты, является заявкой на обслуживание
время обслуживания включает время прибытия, время АСР, время доставки в больницу
Определить число каналов обслуживания (АС вертолетов) при заданных характеристиках потока заявок (ДТП) и параметрах СМО (места базирования вертолетов, состав их оснащения)
Методы теории массового обслуживания

Si - состояния СМО (системы вертолетов);
S0 - все каналы (вертолеты) свободны;
S1 - занят один вертолет, остальные свободны;
Sk - заняты k вертолетов, (n-k) - свободны;
Sn - заняты все n вертолетов;
Sn+1 - заняты все n вертолетов, одна заявка (ДТП) стоит в очереди;
Sn+r - заняты все n вертолетов, r ДТП стоит в очереди;
λ - интенсивность потока ДТП;
μ - интенсивность потока обслуживания ДТП вертолетами.
СМО с ожиданиями:
при неограниченной длине очереди
при ограниченном времени ожидания
Схема гибели-размножения
Методы теории массового обслуживания

Интенсивность потока заявок
Интенсивность потока
обслуживания
Среднее время ожидания пострадавшими в ДТП спасателей и медицинских работников на вертолете для оказания необходимой помощи
- среднее время между отдельными ДТП (час)
- среднее время «обслуживания» вертолетами ДТП (среднее время прибытия к месту ДТП, проведения АСР и оказания необходимой медицинской помощи, доставки пострадавших в л/у) (час)
- среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки
n - число вертолетов (ед.)
P0 - вероятность того, что все каналы свободны
Методы теории массового обслуживания

Изменяя число вертолетов при неизменных характеристиках потока ДТП можно получить совокупность значений времени ожидания помощи
Методы теории массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания
Пример СМО: система противовоздушной обороны от дронов:
количество средств ПВО – n
среднее время обслуживания (обстрела) средствами ПВО дронов tобс
среднее время между появлениями дронов tпояв
Вероятность обстрела любого дрона:
Вероятность противодействия любому дрону:
Применять при самых широких условиях

Методы теории массового обслуживания
Пример СМО с отказами и полной взаимопомощью между каналами: система противовоздушной обороны от дронов:
количество средств ПВО – n
среднее время обслуживания средствами ПВО дронов (обстрела) tобс
среднее время между появлениями дронов tпояв
если все средства ПВО заняты уничтожением дронов, то следующий дрон не обслуживается
все средства помогают друг другу (пропорциональной, произвольно и т.п.)
Вероятность обстрела любого дрона:
и массированных обстрелах

Методы теории массового обслуживания
Пример СМО с отказами, взаимопомощью и отсутствием информации о результатах обслуживания: система противовоздушной обороны от дронов:
количество средств ПВО – n
среднее время обслуживания средствами ПВО дронов (обстрела) tобс
среднее время между появлениями дронов tпояв
если все средства ПВО заняты уничтожением дронов, то следующий дрон не обслуживается
все средства помогают друг другу (массированный обстрел, обстрел пропорционально количеству свободных средств ПВО)
поражение дрона с вероятностью Pпопад (не понятно – попал или нет)
Вероятность обстрела любого дрона:
При Pпопад=1
Применять при tзоны<< tобс и массированных обстрелах с непонятным за tобс результатом

Методы теории массового обслуживания
Пример СМО с ожиданием, ограниченным временем пребывания заявки и упорядоченным обслуживанием: система противовоздушной обороны от дронов:
количество средств ПВО – n
среднее время обслуживания средствами ПВО дронов (обстрела) tобс
среднее время между появлениями дронов tпояв
если все средства ПВО заняты уничтожением дронов, то следующий дрон обслуживается только, если средства ПВО освободятся за tуход
все средства помогают друг другу (массированный обстрел, обстрел пропорционально количеству свободных средств ПВО)
Вероятность обстрела любого дрона:
Применять при tзоны≈tобс , массированных обстрелах и ограниченном времени пребывания дрона в зоне обстрела
- интенсивность ухода дронов из зоны
R(n,α*) – табличная функция Пуассона

Методы теории массового обслуживания
Пример СМО с ожиданием, ограниченным временем пребывания заявки и упорядоченным обслуживанием: система противовоздушной обороны от дронов:
количество средств ПВО – n
среднее время обслуживания средствами ПВО дронов (обстрела) tобс
среднее время между появлениями дронов tпояв
обстрелы не массированные

Методы теории массового обслуживания
μ – эффективная скорострельность одного комплекса
g – количество установок, связанных с одной станцией обнаружения
– эффективная скорострельность одной установки в комплексе (связь с одной станцией)
p1 – вероятность поражения одной установкой комплекса
- вероятность поражения одним комплексом
- вероятность поражения k комплексами
поток уходов целей,
V – скорость целей
- интенсивность освобождения комплексов

Методы теории массового обслуживания
Общие выводы для моделирования ПВО в виде СМО
при малой интенсивности налета взаимопомощь важна, при большой – нет
границы использования СМО:
или
- без взаимодействия
- с взаимодействием
n – число каналов
l – максимальное число взаимодействующих каналов

Методы теории массового обслуживания
Общие выводы для моделирования ПВО в виде СМО
стационарные решения для ПВО пригодны (ошибки не более 5-10%), когда время налета в 2-3 раза превышает среднее время обстрела одной цели
при малых вероятностях поражения любая взаимопомощь (сосредоточение огня) увеличивает эффективность ПВО, при больших – практически нет
в комплексах ПВО в 1-ом эшелоне целесообразно ставить более могущественное средство, во 2-ом и последующих – менее могущественные, но более точные