Множество Совокупность элементов, объединённых каким-либо характеристическим

Подмножество
Множество К называется подмножеством множества А, если любой элемент множества К принадлежит множеству А
K ⊆A
А
К
x

Подмножество
Множество К называется подмножеством множества А, если любой элемент множества К принадлежит множеству А
∀х∈ К ⇒ х∈ А

Кванторы
Специальные математические символы, облегчающие запись математических выражений
Георг Кантор
Кантор придумал кванторы

Кванторы
∀ − квантор всеобщности
«для любого»
All (англ)

Кванторы
∃ − квантор существования
«существует»
Exist (англ)

Универсальное множество
Множество , которому принадлежат все элементы, обладающие данным характеристическим свойством
Универсальное множество своё для каждой задачи

Равные множества
Множества, состоящие из одинаковых элементов
А = {1, 2, 4, 8, 16}
B = {20, 21, 22, 23, 24}
C = {x : x= 2n, n = 0, 1, 2, 3, 4}
A = B = C

Равные множества
Если A = B , то
A⊆ B и B ⊆A

Задача
На множестве U всех букв русского алфавита заданы множества
А = {ё, к, л, м,н} В ={к, о, з, ё, л}
С = {б, ы, ч, о, к}
Найдите следующие множества и изобразите их кругами Эйлера
1) AUB 2) A∩B 3) (A∩B)UC
4) (AUC)∩B 5) U\(AUB UС)

Задача
Даны числовые промежутки
А= [-4; 5], В =(2; 6), С = (5, 10]
Найдите следующие множества и изобразите их на числовой прямой и кругами Эйлера
1) AUB 2) A∩B 3) (СUB)\(A∩B)
4) (A∩B)UC 5) (AUB)\ (A∩B)

Формула мощности объединения множеств

Задача 1
В Асбестовском филиале Уральского промышленно-экономического техникума 2 группы юристов.
В группе азПСОу-108 учится 11 человек.
В группе азПСОу-304 – 9 человек.
Сколько всего студентов-юристов в Асбестовском филиале?

Обозначения
А – множество студентов группы азПСОу-108
|А|=11
В – множество студентов группы азПСОу-304
|В|=9

Диаграммы Венна
А
В
|АUВ| =|А| +|В| =11+9=20

Задача 2
Все студенты группы азПСОу-108 очень любят заниматься рукоделием. При этом они предпочитают только 2 вида рукоделия: плетение из бисера и вышивку крестиком.
1. 7 человек плетут фенечки из бисера.
2. 6 студентов занимаются вышивкой крестиком.
3. 2 человека занимаются обоими видами рукоделия.
Сколько студентов в группе азПСОу-108?

Обозначения
А – множество студентов группы азПСОу-108, увлекающихся бисероплетением
|А|=7
В – множество студентов группы азПСОу-108, вышивающих крестиком
|В|=6

Обозначения
А∩В – множество студентов группы азПСОу-108, увлекающихся бисероплетением и вышивкой одновременно
|А∩В|=2

Диаграммы Венна
А
В
|АUВ| =|А| +|В| =13

Диаграммы Венна
А
В
|АUВ| =|А| +|В| - |А∩В| =13-2=11

Формула мощности объединения двух множеств
|АUВ| =|А| +|В| - |А∩В|

ФОРМУЛА МОЩНОСТИ ОБЪЕДИНЕНИЯ ТРЁХ МНОЖЕСТВ

Задача 3
Все студенты группы азПСОу-108 очень любят заниматься спортом.
При этом они предпочитают только 3 вида спорта: синхронное плавание, кёрлинг и спортивное перетягивание каната.
Сколько студентов в этой талантливой группе, если:

Задача 3
1. 6 человек плавают синхронно.
2. 6 студентов занимаются кёрлингом.
3. 7 человек перетягивают канат.
4. Двое кёрлингистов также занимаются синхронным плаванием.
5. Перетягивать канат любят четыре человека из команды кёрлингистов.
6. Синхронным плаванием и перетягиванием каната одновременно увлекаются 3 человека.
7. Всеми тремя видами спорта занимается только 1 студент

Обозначения
А – множество студентов азПСОу-108, занимающихся в секции синхронного плавания
|А|=6
В – множество студентов-кёрлингистов группы азПСОу-108
|В|=6
С – множество студентов группы азПСОу-108, любящих перетягивать канат
|С|=7

Обозначения
А∩B – множество студентов азПСОу-108, занимающихся синхронным плаванием и кёрлингом одновременно
|А∩B|=2
В∩C – множество студентов-кёрлингистов группы азПСОу-108, любящих перетягивать канат
|В∩С|=4

Обозначения
А∩С – множество студентов группы
азПСОу-108, занимающихся перетягиванием каната и синхронным плаванием
| А∩С|=3
А∩В∩С – множество студентов группы азПСОу-108, занимающихся всеми тремя видами спорта
| А∩В∩С|=1

Диаграммы Венна
|А| = 6 |В| =6 |С| = 7
А
С

Диаграммы Венна
|А∩В| = 2
А
С

Диаграммы Венна
|В∩С| = 4
А
С

Диаграммы Венна
|А∩С| = 3
А
С

Формула мощности объединения трёх множеств
|АUВUС| =
=|А| +|В|+|С| -
-|А∩В| -|А∩С| -|С∩В|

Формула мощности объединения трёх множеств
|АUВUС| =
=6+6+7-2-4-3=10

Диаграммы Венна
А
С

Диаграммы Венна
|А∩В∩ С| = 1
А
С

Формула мощности объединения трёх множеств
|АUВUС| =
=|А| +|В|+|С| -
-|А∩В| -|А∩С| -|С∩В| +
+ |А∩В ∩С |

Формула мощности объединения трёх множеств
|АUВUС| =
=6+6+7-2-4-3+1=11

Задача 1V
Из 35 студентов, побывавших на каникулах в Москве, все, кроме двоих, делились впечатлениями.
О посещении Большого театра с восторгом вспоминали 12 чел., Кремля – 14, а 16 – о концерте. По три студента запомнили посещение театра и Кремля, а также театра и концерта, четверо – концерта и пребывания в Кремле.
Сколько студентов сохранили воспоминания одновременно о театре, концерте и Кремле?

А
С
U

Обозначения
U – множество студентов, посетивших Москву – универсальное множество
|U|=35
А – множество запомнивших Большой театр
|А|=12
В – множество студентов, рассказывавших о Кремле
|В|=14

Обозначения
С – множество студентов, вспоминавших о концерте
|С|=16
А∩В – множество тех, кто рассказывал о Большом театре и Кремле
|А∩В |=3
А∩С – множество тех, кто делился впечатлениями о Большом театре и концерте
|А∩С |=3

Обозначения
B∩С – множество тех, кто делился впечатлениями о Кремле и концерте
|B∩С |=4
D = U /(АUВUС) – множество тех, кто не стал делиться воспоминаниями
| D|=2
А∩В∩С – множество тех, кто сохранил воспоминания о Большом театре, Кремле и концерте.
| А∩В∩С |=?

|А∩В∩С | =
|АUВUС| -|А| -|В|-|С| +
+|А∩В| +|А∩С| +|С∩В|

|А∩В∩С | =
|АUВUС| -|А| -|В|-|С| +
+|А∩В| +|А∩С| +|С∩В|