Особенности геометрических построений на компьютере

Выяснить какие знания из курса алгебры и геометрии требуются для решения задач на построение геометрических фигур на компьютере, и разработать алгоритмы для решения задач на построение.
Ц Е Л Ь Р А Б О Т Ы

З А Д А Ч И
Ознакомится с теорией построений изображений на компьютере при помощи «базовой точки».
Найти необходимые формулы для построения геометрических фигур.
Реализовать полученные алгоритмы в системе программирования PascalABC.
Составить «сборник» использованных мною формул, определений и теорем.

Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы.
Практический метод составления алгоритмов решения задач, и их реализация в системе программирования PascalABC.
Исследовательский метод при выборе алгоритма решения задачи, и построении математической модели.
Анализ полученных в ходе исследования данных
М Е Т О Д Ы

A(X;Y)
X
Y
X
Y
Система координат компьютера.
Прямоугольная система координат.
С И С Т Е М Ы К О О Р Д И Н А Т
X
Y
A(X;Y)

М Е Т О Д Б А З О В О Й Т О Ч К И

Построение прямоугольного треугольника по двум катетам.
Построение прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе.
Построение равностороннего треугольника.
Построение треугольника по трем сторонам.
Правильный шестиугольник
Медиана к основанию и средняя линия треугольника.
Построение трапеции по сторонам.
Построение параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Построить вписанную в треугольник окружность
Построить описанную вокруг треугольника окружность.
З А Д А Ч И НА П О С Т Р О Е Н И Е

Задача 5.
Построить правильный шестиугольник по стороне. Длина стороны вводится с клавиатуры.
Правильный шестиугольник можно разделить на шесть треугольников.
Докажем, что эти треугольники будут равносторонними, и равными.

Задача 5.
Построить правильный шестиугольник по стороне. Длина стороны вводится с клавиатуры.
Рассмотрим треугольник АВО. В нем АО и ВО, будут радиусами описанной окружности, и АО=ОВ=R
, где a=AB, n=6

Задача 5.
Построить правильный шестиугольник по стороне. Длина стороны вводится с клавиатуры.

Задача 5.
Построить правильный шестиугольник по стороне. Длина стороны вводится с клавиатуры.
R=a.
Значит треугольник АВО равносторонний.
Для построения:
найти d и h, если известна сторона равностороннего треугольника

Задача 5.
Построить правильный шестиугольник по стороне. Длина стороны вводится с клавиатуры.
Высоту h найдем по теореме Пифагора:
Так как треугольник равносторонний h является медианой, биссектрисой и высотой, следовательно, d составляет половину a.

D:=trunc(A/2);
H:=trunc(sqrt(a*a-d*d));
line(x,y,x+d,y-h);
line(x+d,y-h,x+a+d,y-h);
line(x+a+d,y-h,x+a+a,y);
line(x+a+a,y,x+a+d,y+h);
line(x+a+d,y+h,x+d,y+h);
line(x+d,y+h,x,y);
КОД ПРОГРАММЫ
Преобразуем формулы в строчный вид
Применим метод базовой точки

РАБОТА ПРОГРАММЫ

Задача № 8.
Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними. Длины сторон и угол вводятся с клавиатуры.
Для построения:
найти d и h, если известна стороны параллелограмма и угол между ними

Задача № 8.
Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними. Длины сторон и угол вводятся с клавиатуры.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. В нем нам известна гипотенуза АВ, и угол BAE.
Тогда
Аналогично находим d.
, отсюда

Задача № 8.
Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними. Длины сторон и угол вводятся с клавиатуры.
При составлении программы следует учесть, что система программирования PascalABC, работает с углами в радианах. А мы привыкли измерять угол в градусах. Поэтому воспользуемся формулой для перевода градусов в радианы.

КОД ПРОГРАММЫ
Преобразуем формулы в строчный вид
Применим метод базовой точки
n:=(n*pi)/180;
h:=trunc(b*sin(n));
d:=trunc(b*cos(n));
line(x,y,x+d,y-h);
line(x,y,x+a,y);
line(x+d,y-h,x+d+a,y-h);
line(x+d+a,y-h,x+a,y);

РАБОТА ПРОГРАММЫ

Для решения этих задач мне потребовались следующие математические знания:
Треуго́льник— это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника..
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами
Теорема о медиане равнобедренного треугольника. Медиана, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой

Для решения этих задач мне потребовались следующие математические знания:
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середину этих сторон
Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Синус угла - это отношение длины противоположного этому углу катета к гипотенузе
Косинус угла - это отношение прилежащего этому углу катета к гипотенузе

Для решения этих задач мне потребовались следующие математические знания:
Формула для перевода градусов в радианы
Радиус окружности описанной вокруг правильного n угольника.
… а для остальных задач,
еще 31 правило и определение!

Проанализировав решенные мною задачи, я выписал те теоремы, определения и формулы из курса алгебры и геометрии 8 и 9 классов, которые были использованы при составлении этих 10 программ. Сами программы очень простые. В них реализован линейный алгоритм. Вся трудность заключалась в выводах формул, при помощи которых компьютер вычислял необходимые данные для построения геометрических фигур.
В Ы В О Д

Программирование компьютерной графики невозможно без знания математики.
Для построения геометрических фигур используется специальный метод, «базовой точки».
З А К Л Ю Ч Е Н И Е