Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

B
А
C
D
№117.
В тетраэдре АВСD ВС АD. Докажите, что АD MN, где М и N – середины ребер АВ и АС.
M
N

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

О
А
В
Построение прямых углов на местности с помощью
простейшего прибора,
который называется экер
Треножник
с
экером
Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

A
O
В
№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD.
D
С

A
O
В
№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
С
С
D

A
O
В
№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
С
С
D

В
№121. В треугольника АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем
СК = 12 см. Найдите КМ.
С
А
12 см
8 см
6см

В
№121. Еще один эскиз к задаче
С
А
М
12 см
8 см
6см

В
К
O
С
№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.
А
D
a
b
a

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Обратная теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
a II b

Обратная теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
a II b
c

С
М
O
В
АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.
А
3
1

А
Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ1 и СС1 , СС1=4, АС1=
АВ1= , . Найдите ВС.
В
С
4

С
М
O
В
А
2
D
В
М
O
С
А
АВСD – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата.
1
4
4
4
4
АВС –равносторонний треугольник со стороной
О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

Р
№124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1.
Q
PP1IIQQ1

ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC)
Доказать: (АВЕ) II (СDF)
А
В
С
D
ВЕ II DF
AB II DC
(ABЕ) II (CDF)