Построение сечения многогранника плоскостью

Сечения многогранника плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. Мною разобраны некоторые способы построения сечений, а также задачи связанные с их построением. Рассмотрены сечения плоскостями, проходящими через данную точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, когда секущая плоскость задана одним из условий.

На рисунке показано построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. Точки M и N заданы так, что прямые MN и AC не параллельны. Отрезки MN и AP являются сторонами сечения. Точка P – общая для плоскостей MNP и ABC. Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и AC, S=MNAC. Прямая SP – линия пересечения плоскостей MNP и ABC. Пересечение этой прямой с ребром AB дает вершину Q сечения, Q=SPAB. Сечение – четырехугольник MNPQ.
Плоскость проходит через три данные точки

Решение:
Обозначим секущую плоскость . отрезки AD1 и
AM принадлежат и плоскости и граням куба,
поэтому являются сторонами сечения. Построим
сторону сечения в грани BB1C1C. Плоскости
BB1C1C и AA1D1D параллельны, поэтому линия
пересечения плоскостей и BB1C1C параллельна
прямой AD1. Поскольку прямые BC1 и AD1
параллельны, эта линия пересечения параллельна и прямой BC1. Проводим через точку M в
плоскости BB1C1C прямую, параллельную прямой BC1, ее пересечение с ребром B1C1 дает
вершину сечения. Сечение – трапеция AMND1, MN║AD1.
Найдем длины сторон этой трапеции. Имеем AD1 = , отрезок MN – средняя линия в
треугольнике BB1C1, поэтому MN = BC1 = . В прямоугольных треугольниках ABM и D1C1N
(AB = C1D1 = a, BM = NC1 = ) находим AM = D1N = . Значит, трапеция AMND1
равнобедренная. Найдем ее высоту. Опускаем перпендикуляры MP и NQ на основание AD1,
получаем PQ = MN = , D1Q = PA = (D1A-QP) = . В прямоугольном треугольнике D1QN
(D1N = , D1Q = ) находим NQ = . Определяем площадь сечения
S = (MN +D1A)*NQ = a2.
Ответ: a2
Дано:
Длина ребра куба равна a. Найти площадь сечения проведенного через диагональ AD1 грани AA1D1D и середину M ребра BB1.
Плоскость проходит через данную точку и прямую

Решение:
Построение основано на следующей теореме:
Если плоскость проходит через прямую,
параллельную другой плоскости и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой. Обозначим плоскость сечения . Плоскость ACD имеет с плоскостью
общую точку M и содержит прямую AC, параллельную плоскости . Следовательно, линия
пересечения этих плоскостей проходит через точку M параллельно прямой AC. В соответствии с
этим построена сторона MS1 сечения, MS1║AC . Проведя прямую S1N, найдем вторую сторону
сечения – S1S2. На рисунке точка N дана так, что точка S2 принадлежит ребру AB. Плоскость
ABC также содержит прямую AC, параллельную плоскости сечения. Поэтому сторона сечения
S2S3 проведена параллельно ребру AC. Отрезок S3M – четвертая сторона сечения. Сечение
MS1S2S3 – трапеция (MS1║AC║S2S3).
Дано:
На рисунке показано построение сечения тетраэдра плоскостью, параллельной ребру AC и проходящей через точку M ребра CD и точку N в грани ABD.
Плоскость проходит через две точки параллельно ребру (прямой).

Построение сечений многогранника плоскостью, заданной точкой и условием параллельности или перпендикулярности к указанным прямым и плоскостям.

Решение:
На ребре AB пирамиды SABCD откладываем
отрезок BM = AB. Через точку M в грани ASB
проводим MKAB (точка К лежит на ребре,
MK║SF, где SF – апофема пирамиды), а в основании ABCD проводим MPAB, где точка P лежит
на ребре DC (MP║FO). Плоскости SFO и KMP параллельны между собой и перпендикулярны к
AB, следовательно, перпендикуляры к основанию ABCD пирамиды. Так как BC║MP, то прямая
BC параллельна секущей плоскости KMP. Поэтому грань BSC, имея с секущей плоскостью
общую точку K, пересекается с нею по прямой KL║BC – по теореме, обратной теореме о
параллельности прямой и плоскости. Искомое сечение трапеция MKLP. Пусть N– точка
пересечения диагонали BD основания пирамиды и отрезка MP. Но KN║SO как линии
пересечения параллельных плоскостей SFO и KMP третьей плоскостью DSB. Поскольку SO
перпендикулярна к плоскости основания пирамиды, то и отрезок KN перпендикулярен к этой
плоскости. Следовательно, KNMP, отрезок KM – высота трапеции MKLP.
Дано:
На ребре AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD дана точка M, BM = AB. Через точку M проведена секущая плоскость перпендикулярно к прямой AB. Построить сечение и вычислить его площадь, если сторона основания пирамиды равна a, а высота пирамиды H.
1. Плоскость проходит через данную точку перпендикулярно к данной прямой.

Решение:
Ссылаясь на упомянутую выше теорему,
последовательно строим линии пересечения
секущей плоскости с плоскостями основания ABC, DSB и ASC. Эти построения дают нам все
искомые вершины сечения. Из хода построения следует, что N – середина AB, точка Q –
середина SO, следовательно, точки K и P – середины боковых ребер SA и SC пирамиды
соответственно. Отсюда: KN║SB║PM. Кроме того QF║KN║PM. Но QFNM, в чем легко
убедиться применив теорему о трех перпендикулярах. Следовательно, сечение составлено из
прямоугольника KNMP и равнобедренного треугольника KLP, имеющих общее основание KP.
Дано:
Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через середину M стороны BC основания параллельно диагонали AC основания и боковому ребру SB. Вычислить площадь сечения, если длина стороны основания пирамиды a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом .
2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 1.

Решение:
Секущую плоскость обозначим . Линия
пересечения этой плоскости с плоскостью ABD
параллельна прямой AD (AD║ ). Проводим MN║AD. Линии пересечения плоскостей BCA и
BCD с плоскостью параллельны прямой BC (BC║ ). Строим MQ║BC и NP║BC. Четвертая
сторона сечения PQ параллельна ребру AD. Сечение – параллелограмм MNPQ (MN║AD║PQ,
NP║BC║MQ).
Выразим длины сторон параллелограмма MNPQ через длины ребер AD и BC. Из подобия
треугольников AMQ и ABC имеем MQ:BC = AN:AB = , откуда MQ = *BC. Теперь находим
BM = AB – AM = (1– )*AB и из подобия треугольников BMN и BAD получаем MN:AD =
BM:BA = 1– , т.е. MN = (1– )*AD.подставляя в равенство MN = MQ получаем выражения,
будем иметь (1– )*AD = *BC, откуда = =
Ответ: сечение будет ромбом при = .
Дано:
На ребре AB тетраэдра расположена точка M так, что AM:AB = , 0< <1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельно ребрам AD и BC. При каком значении это сечение будет ромбом, если AD:BC = m?
2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 2.

Решение:
Пусть в ромбе ABCD BD BD. Построение искомого сечения не составляет труда. Находим точку P пересечения прямой MN с осью OO1 призмы, в ее диагональном сечении AA1C1C проводим KL║AC. Остается соединить последовательно отрезками точки K, M, L, N пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами призмы.
Из условия следует, что секущая плоскость пересекает все боковые ребра параллелепипеда. В сечении получаем параллелограмм (противоположные боковые грани пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым). В данном случае сечение является ромбом. Для этого достаточно доказать, что в параллелограмме KMLN диагонали взаимно перпендикулярны. Последнее следует из того, что проекцией наклонной на плоскости основания призмы является диагональ DB основания, но ACDB, поэтому ACNM (для доказательства последнего утверждения можно провести OR║MN и применить теорему о трех перпендикулярах). А так как KL║AC, то KLNM.
Дано:
В основании прямой призмы лежит ромб. В плоскости меньшего диагонального сечения призмы дана прямая MN, пересекающая оба боковых ребра призмы. Через эту прямую проведена секущая плоскость, параллельная диагонали основания призмы. Построить сечение и исследовать его форму.
3. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым.

Решение:
Пусть секущая плоскость параллельна грани ASB пирамиды SABC. После проведения через центр O основания пирамиды прямой MN║AB следы секущей плоскости в боковых гранях можно строить по-разному: либо провести OK║SD (SD – апофема пирамиды) и соединить точку K с точками M и N, либо провести NK║BS и MK║AS (прямые MK и NK пересекаются в точке K на ребре SC). Можно, проведя NK║BS и получив точку K, соединить ее с точкой M.
Дано:
Построить сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.
4. Плоскость проходит через данную точку и параллельна данной плоскости.

Решение:
Медиана боковой грани правильной пирамиды не
перпендикулярна к плоскости основания, поэтому
условия задачи определяют единственную секущую
плоскость.
Если в условии задачи речь идет о перпендикулярности плоскости к плоскости ,нужно
постараться из удобной для нас точки плоскости провести перпендикуляр к плоскости . В
данном случае удобнее всего из конца K медианы AK боковой грани ASB опустить
перпендикуляр на плоскость основания. Поскольку точка K лежит в плоскости DSB,
перпендикулярной к плоскости основания, основание P этого перпендикуляра будет лежать на
прямой BD пересечения перпендикулярных плоскостей DSB и ABC. Остается в плоскости
основания пирамиды провести прямую AP и найти точку M ее пересечения прямой BC. В
полученном треугольнике AKM построенный отрезок KP является высотой. Таким образом, в
этом случае в ходе построения не только выяснена форма, но и построена высота треугольника
AKM, необходимая для определения его площади.
Дано:
Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через медиану AK боковой грани ASB и перпендикулярно к плоскости основания.
5. Плоскость проходит через данную прямую и перпендикулярна к данной плоскости (не перпендикулярной к данной прямой).

Решение:
Пусть секущая плоскость проходит через середину
M бокового ребра SA данной пирамиды SABCDEF
параллельно стороне основания AB. Как и в
предыдущей задаче, прежде всего опустим из точки M перпендикуляр MP на плоскость
Основания пирамиды. Основание P этого перпендикуляра окажется на OA. Затем через точку P
(середину OA) проведем KL║AB. Точки K и L – середины сторон AF и BC основания
пирамиды. Через M проводим MN║AB (это следует из условия параллельности секущей
плоскости прямой AB). В сечении получена равнобедренная трапеция KMNL, отрезок MP – ее
высота.
Дано:
Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину бокового ребра параллельно стороне основания и перпендикулярно к плоскости основания пирамиды.
6. Плоскость проходит через данную точку, перпендикулярна к данной плоскости и параллельна данной прямой.

Решение:
Решение таких задач начинаем с построения
двугранного угла. Это облегчает дальнейшие
построения и установление формы сечения.
Пусть в данной правильной шестиугольной призме O – центр, FC – большая диагональ
основания. Проводим OKDE ( K– середина DE), KK1║DD1. Плоскость O1OK перпендикулярна
к плоскости снования призмы и к диагонали FC основания (так как FCOK и FCOO1). Остается в
это плоскости провести луч OL под данным углом к OK, чтобы получить линейный угол LOK
двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы.
Точка L принадлежит секущей плоскости и плоскости грани DD1E1E. Эти плоскости
пересекаются по прямой MN, проходящей через L параллельно прямой DE. Трапеция CNMF –
искомое сечение. Из хода построения следует, что эта трапеция – равнобокая, отрезок LO
служит ее высотой.
Дано:
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через большую диагональ основания под углом к плоскости основания.
7. Плоскость проходит через данную прямую под данным углом к данной плоскости.

Рис.214

Рис.215

Рис.218

Рис.221

Рис.80

Рис.83

Рис.84

Рис.85

Рис.86

Рис.87