Системы счисления. Основные определения, виды, свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - совокупность приемов и правил для записи чисел.
Коэффициенты - знаки (цифры), используемые для записи чисел.
Наиболее известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:
возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
простоту оперирования числами.

СВОЙСТВА СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные.
Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные система счисления в настоящее время используются редко, в основном для целей нумерации. Примером такой системы является римская система счисления с цифрами:
Десятичные цифры 1 5 10 50 100 500 1000 и т. д.
Римские цифры I V X L C D M и т. д.
Несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются: ХХХ =Х +Х +Х= 30. Если рядом стоят две разные цифры, причем младшая - справа от старшей, то они также суммируются: XVI= X+ V+ I= 16; если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры: IX= X- I= 9.
Например, MCMLXV= 1965; MMDCLIII= 2653.

ОСНОВНЫЕ НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ:
Теоретически имеют бесконечное количество цифр;
Арифметические действия над числами в них очень сложны.
Например, умножить: XXXII и XXIV.
Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Позиционными называются такие системы, в которых значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе.
Например, 222 - первая цифра справа означает две единицы, соседняя с ней - два десятка, а левая - две сотни.
Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.

ОСНОВАНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Основание позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых для изображения чисел в данной системе.
Возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав, таким образом, новую систему. Например, запись числа в шестнадцатеричной системе может производиться с помощью следующих цифр(знаков): 0,1,...,9,A,B,...,F.

Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления

РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Для позиционной системы счисления справедлива теорема:
Любое число в позиционной системе можно записать в развернутой форме, через основание, причем единственным способом. Т.е.:
A= anpn + an-1pn-1 + ... + a1p1 + a0p0 + a-1p-1 + ...
+ a-mp-m
, где
А- произвольное число, записанное в системе счисления с основанием р;
аi- коэффициенты ряда (цифры системы счисления);
n, m- количество целых и дробных разрядов.
На практике используют сокращенную запись чисел:
А= anan-1 ... a1a0a-1... a-m