Текстовые задачи на проценты в заданиях ЕГЭ по математике

Открытый банк заданий ЕГЭ по математике
На 1 февраля 2011 года банк заданий содержал 82 прототипа заданий В12.
Среди них задач на проценты
16 прототипов.

В ситуациях образования одних сплавов из других обычно (если другое не оговорено в условии задачи) принимается закон сохранения массы: общая масса сплава равна сумме масс составляющих его частей (сплавов) и общая масса каждого вещества в сплаве равна сумме масс этого вещества во всех составляющих частях.
В промышленности часто используют не чистые металлы, а их смеси – сплавы. В сплаве свойства разных компонентов удачно взаимно дополняются.
Раствор – это гомогенная система, состоящая из 2х или более веществ, содержание которых можно изменить в определенных пределах без нарушения однородности.
Состав растворов обычно передается содержанием в них растворенного вещества в виде массовой доли или концентрации.
Основные понятия в задачах на смеси, сплавы, растворы

Полезные формулы
А – вещество в сплаве
М – масса сплава
МА – масса вещества А в сплаве
СА – концентрация вещества А в сплаве (в %)

Способ 1
5*0,12=0,6(л.)-вещества содержится в 5 литрах 12% раствора
5+7=12(л.) – объем получившегося раствора
12л.--- 100%
0,6л. --- X%
Х=5%
Ответ: 5% - концентрация получившегося раствора.
№ 99571 В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

2Хл.
Хл.
Хл.
+
=
15%
19%
y%
15Х+19Х=2ХY
Y=17
Ответ: 17% - концентрация получившегося раствора.
№ 99572 Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

№ 99572 Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Если массы исходных растворов равны, то концентрация их смеси равна среднему арифметическому концентраций смешиваемых жидкостей.
Ответ : 17% концентрация получившегося
раствора
(15+19) : 2 = 17

10л.
6л.
4Л.
+
=
15%
25%
Х%
15*4+6*25=10Х
60+150=10Х
Х=21
Ответ: 21% - концентрация получившегося раствора.
№ 99573 Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Х кг
(200-Х) кг
200кг
+
=
10%
30%
25%
1. 10Х + 30(200-Х) = 200*25
10Х + 6000 - 30Х = 5000
Х=50(кг) –масса первого сплава.
2. 200 – 50 = 150 (кг) – масса второго сплава
3. 150 – 50 = 100 (кг)
Ответ: на 100 кг масса первого сплава
меньше массы второго сплава.
№ 99575 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Х кг
(3+Х)кг
(2Х+3)кг
+
=
10%
40%
30%
1. 10Х + 40(3 + Х) = 30(2Х+3) 10Х + 120 + 40Х = 60Х + 90
Х=3(кг) –масса первого сплава.
2. 2*3+3=9(кг)
Ответ: 9 кг масса третьего сплава.
№ 99576 Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

(Х+у+10)кг
У кг
Х кг
+
=
30%
60%
36%
+
10кг
0%
(Х+у+10)кг
У кг
Х кг
+
=
30%
60%
41%
+
10кг
50%
№ 99577 Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

{
30Х + 60 У = 36(Х+У+10)
30Х + 60 У + 500 = 41(Х+У+10)
-6Х + 24У = 360
-11Х + 19У = -90
{
Х- 4У = -60
-11Х + 19У = -90
{
11Х – 44У = -660
-11Х + 19У = -90
{
Х = 60
Ответ: для получения смеси использовали 60 кг
30 – процентного раствора

50кг
20кг
30кг
+
=
Х%
У%
68%
2Zкг
Zкг
+
=
Х%
У%
70%
Zкг
№ 99578 Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

{
30Х + 20 У = 50*68
ZX + ZУ = 140Z
{
3Х + 2 У = 340
X + У = 140
{
3Х + 2 У = 340
-2X - 2У = -280
X=60% - процентная концентрация первого раствора
30*60/100 = 18 (кг)
Ответ : в первом растворе содержится 18 кг кислоты

Закон сохранения массы сухого вещества
В задачах о просушивании зерна, травы в процессе ее превращения в сено, винограда в процессе его превращения в изюм и др. просушиваемый продукт представляется состоящим из воды и сухого вещества.
Концентрацию воды в этом продукте называют влажностью.
Ключевым моментом решения подобной задачи является использование закона сохранения массы сухого вещества в процессе просушивания рассматриваемого продукта.
В процессе просушивания продукта влажность изменяется, а сухое вещество остается прежним.

Виноград Х кг
Влажность 90%
Сухое вещество 10%
Изюм 20 кг
Влажность 5%
Сухое вещество 95%
20кг. – 100%:
У кг . - 95%
У= 19 кг – сухого вещества содержится в 20 кг. изюма
2. Xкг. – 100%
19кг. – 10%
Х=190 кг
Ответ : для получения 20 кг. изюма требуется 190 кг винограда
№99574 Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

400000 * 1,08 = 43200 чел. – проживало
в городском квартале в 2009 году
2. 43200 * 1,09 = 47088 чел.
Ответ : в городском квартале в 2010 году проживало 47088 человек
№ 99565 В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

1. Хр. – 100%
Ур. – (100 + t)%
У = 0,01Х * (100 +t) – рублей стоят акции
в понедельник
2. 0,01Х * (100 +t)р. – 100%
Zр. - (100-t)%
Z = 0,0001Х *(10000- t2)р. – стоят акции во вторник
3. Хр. – 100%
0,0001Х *(10000- t2)р. – 96%
96 Х = 0,01Х * (10000- t2)
9600 = 10000 - t2
t = 20
Ответ : акции подорожали в понедельник на 20%
№ 99566 В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

1. Ур. – 100%
4Хр. – 92%
4Х = 0,92У
Х = 0,23У р. – стоит одна рубашка
2. 0,23У *5 = 1,15 Ур. – стоят 5 рубашек
3. Ур. – 100 %
1,15Ур. – t%
t = 115 % - составляет 5 курток
4. 115 – 100= 15%
Ответ : на 15% 5 рубашек дороже куртки.
№99567 Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Увеличение прибыли на 300% означает, что Бубликов заработал 400% от прибыли прошлого года.
Ответ: в 2003 году прибыли составила 320000 руб.
№ 99586
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

№ 99568
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Пусть х - общий доход семьи
Рассмотрим уравнения (М-доход мужа, Ж-доход жены, Д- доход дочери)
1. М + Ж + Д = х
2. 2М + Ж + Д = 1,67х
3. М + Ж + Д/3 = 0,96х
Из 2-го уравнения вычитаем 1-е уравнение
М = 0,67х
Из 1-го уравнения вычитаем 3-е уравнение
2Д/3 = 0,04х
Д = 0,06х
Отсюда
Ж = х - М - Д = х - 0,67х - 0,06х = 0,27х
Ответ: 27%

1) Пусть новая стоимость холодильника через год составляет х % от первоначальной стоимости. Тогда можно составить уравнение:
20000*0,01Х*0,01Х=15842
Х=89
2)100-89=11%
Ответ: цена холодильника ежегодно уменьшалась на 11%
№ 99569 Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

В презентации использованы материалы:
Текстовые задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике
http://www.mathege.ru