Тема 10. Механика твердого тела

Абсолютно твердое тело (АТТ)-
Система материальных точек с неизменным взаимным расположением

Поступательное движение

2
Неизменное взаимное расположение
материальных точек в абсолютно твердом
теле означает, что движение одной МТ
относительно другой может быть
только вращательным
1

dφ
r
dr
r+dr

dφ
r
dr
r+dr
dφ
ω
Линейная и угловая скорости

Линейное и угловое ускорения

Качение колеса как сумма поступательного движения (1) со скоростью v и вращения (2) с угловой скоростью ω относительно оси O, проходящей через центр масс.

z
m1
m2
Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
Sz
Sz = l1z+l2z
= l1cosα + l2cosα =
= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
r1
r2
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω
Sω = Iωω
Sz = Izω

Вычисление момента инерции
1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр
m
I = m R2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
R
dr

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел.

Теорема Штейнера
с
z
zc
Iz - момент инерции
относительно оси Z
Ic - момент инерции
относительно оси,
проходящей через центр масс тела
Iz = Ic + ma2

z
mi
Вращение твердого тела относительно неподвижной оси

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ

Закон сохранения момента импульса АТТ

Физический маятник

Физический маятник
h

Неупругое вращательное столкновение двух дисков.

На примере вращения твердого тела относительно неподвижной оси
z
dφ

z
mi
Вращение твердого тела относительно неподвижной оси

Плоское движение =
поступательное ц.м. + вращательное в с.о. ц.м.

Пример: скатывание обруча с горки
Для сравнения: соскальзывание без вращения

Поступательное движение
Вращательное движение
Масса (инерция) - m
Момент инерции -
Сила
Момент силы
Проекция
импульса
Проекция
момента импульса
Уравнение динамики (проекция)
Кинетическая энергия
Мощность
Работа

Гироскопический эффект
Гироскоп – быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве
Что означает «быстро вращающееся»?

Прецессия волчка в однородном поле
ω′dt
0
С другой стороны:
S = I ω
Прецессия – медленное вращение оси гироскопа в направлении, перпендикулярном направлению силы, стремящейся вывести гироскоп из равновесия.

«Быстро вращающееся» означает, что угловая скорость прецессии много меньше,
чем угловая скорость вращения гироскопа.