Теорема Минковского о многогранниках

Теорема, о которой пойдет речь, наряду со
знаменитыми теоремами Эйлера, Коши,
Александрова, принадлежит к числу
наиболее удивительных и глубоких
результатов о многогранниках.
●Эта теорема была доказана в 1897 году выдающимся немецким математиком Германом Минковским (1864-1909).

Выпуклые многогранники и их «ежи»
Под выпуклым многогранником будем понимать пространственное тело, являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Введем важное понятие опорной плоскости.
Плоскость, имеющая с данным многоранником
общие точки, но оставляющая многогранник по
одну от себя сторону, называется опорной.

Так как многогранник выпуклый, каждая опорная плоскость содержит:
●либо единственную точку многогранника – вершину;
●либо целый отрезок многогранника – его ребро;
●либо целый многоугольник, называемый гранью.

Теорема Минковского
Предположим, что дана система векторов в
трехмерном пространстве с нулевой сумой.
Является ли она ежом какого-нибудь многогранника?
Удивительная теорема Минковского утверждает,
что да, является.

Теорема 1: (Г.Минковский).
Пусть {Fi} - множество векторов в пространстве, отложенных от одной точки, такое, что оно не лежит в одной плоскости. Тогда существует ограниченный многогранник Р, еж которого есть множество векторов. Более того, многогранник Р определен однозначно с точностью до параллельного переноса.
Для единственности многогранника условие выпуклости существенно.

Доказательство, данное Минковским, опирается на
известный из Лагранжа. Другое доказательство было
дано выдающимся росийским геометром А.Д.
Александровым(1912-1999).

Теорема Минковского (точнее, ее
аналог) верна для многогранников
любой
размерности. Для случая плоских
многоугольников она доказывается
несложно.

Центрально-симметричные многогранники
Теорема Минковского чрезвычайно
продуктивна. С ее помощью доказывается ряд
теорем:
Теорема 2: Если еж многогранника Р центрально-
симметричен, то многогранник Р также
центрально-симметричен.

Теорема 3: Выпуклый многогранник Р тогда и только
тогда центрально-симметричен, когда у каждой грани
имеется параллельная грань той же площади.
Теорема 4: Если выпуклый многогранник Р составлен
из конечного числа центрально-симметричных
многогранников Р1, Р2,….,Рк, то и сам многогранник Р
центрально-симметричен.

Многогранники с центрально-симметричными гранями
Грани у центрально-симметричного многогранника не обязательно симметричны. Например, у октаэдра, который является центрально-симметричным многогранником, все грани – треугольники. Так что симметричность граней не является необходимым условием центрально-симметричного многогранника. Но является ли она достаточным условием? Оказывается да, является.