Устойчивость дисперсных систем

ДЭС тонкой пленки
Потенциал в зазоре – сплошная кривая на рис. 6.1.
Ψh – потенциал в плоскости симметрии. Здесь dΨ/dx=0
Ψ
Ψ
Ψs
Ψs
Ψh
+h/2
-h/2
0
x
Рис. 6.1
Потенциал в зазоре

U(h) = 2[σ(h) - σ(∞)] (6.1)
σ(∞) = - (1/2)qsΨs , где qs=εε0æΨs,
Ψ= A1 exp(-æx) + A2 exp(+æx) (5.7)
Граничные условия : Начало координат в середине
при x=0: 1) Ψ = Ψh , 2) dΨ/dh = 0
Из 1) Ψh = A1 + A2 .
Из 2) -æ A1 + æ A2 = 0 или A1= A2 ≡ A.
С учетом 1) Ψh = 2A или в (5.7) A1= A2 = Ψh/2 , тогда
Ψ= Ψh[ exp(-æx) + exp(+æx)]/2 ≡ Ψhch(æx) (6.2)
Здесь ch(t) ≡ [ exp(t) + exp(-t)]/2 - косинус гиперболический аргумента t .
Электростатическое отталкивание ДЭС

Ψs = Ψhch(æh/2) , то Ψh = Ψs/ch(æh/2),
Ψ = Ψsch(æx) / ch(æh/2) (6.3)
qs= - εε0(dΨ/dx) x= ± h / 2
x= - h / 2

Производная: dΨ/dx = æΨssh(æx) / ch(æh/2)
При x= - h/2 (dΨ/dx)s = - æΨssh(æh/2) / ch(æh/2),
Где sh(æh/2)≡ [ exp(æh/2) - exp(-æh/2)]/2 - синус гиперболический аргумента æh/2. Это нечетная функция:
sh(-æh/2)= - sh(æh/2).
Т.к. sh(æh/2) / ch(æh/2) ≡ th(æh/2) – тангенс гиперболический, то (dΨ/dx)s = - æΨsth(æh/2) ,
qs=εε0 æΨsth(æh/2) (6.4)
согласно (5.18)
σ(h)=σ0 – εε0æΨs2th(æh/2) (6.5).
Из (6.5) и (5.18) в (6.1), получим
Ue= εε0æΨs2 [1 - th(æh/2)] (6.6)
Это формула при малом потенциале поверхности (около ±30 мВ и меньше).

Молекулярное притяжение
Принцип аддитивности молекулярных взаимодействий:
Потенциальная энергия U1 взаимодействия двух молекул
U1= - A1/r6 (6.7)
dV=2πr (r-x)dr
dU1=2πr (r-x) (NA/Vm)A1 dr / r6 (6.8)
Интегрирование от r=x до r=∞ дает:
Ua= - (π/6)(NA/Vm)A1/x3 (6.9)

Принцип аддитивности Гамакера
Тело 2
Рис. 6.2
К выводу формулы энергии молекулярного притяжения тел 1 и 2
2
dx

dUм=Ua (NA/Vm)dx.
интегрирование выражения (π/6)(NA/Vm)2A1dx / x3 в пределах от x=h до x= ∞ дает
Uм= - (π/12)(NA/Vm)2A1 / h2 (6.10)
В компактной записи
Uм= - AG / h2 (6.11)
AG= (π/12)(NA/Vm)2A1 – константа Ван-дер-Ваальса-Гамакера