Вес тела и сила тяжести

Различие силы тяжести и веса
На любое тело, находящееся на поверхности Земли (кроме полюса) действует центробежная сила инерции Fцб , что и приводит к некоторому
различию силы тяжести P и силы гравитационного притяжения Fg как по величине, так и по направлению. Те во вращающейся системе отсчета складываем два вектора P=mg=Fg+Fцб ׀Fцб׀=mωЗ2RЗcos ϕ
Результирующая сила направлена не к центру Земли. Максимальное различие получается на экваторе и составляет 0,3% от силы P. На экваторе на тело массой 1 кг действует Fцб=0.0337Н=1/291 mgh. Т.е. в ряде случаев ей можно пренебречь. Угол между направлениями векторов P и Fg также очень мал и его max значение равно 0,0018 рад (на широте 45 градусов).

Момент инерции МТ относительно оси вращения
Величина угловой скорости
При вращении по окружности момент импульса МТ L относительно точки О: и направления векторов L и ω не совпадают если точка О не в центре окружности. Если движение идет по окружности и точка О’ в центре окружности то по направления векторов L’ и ω совпадают.
Изменение угловой скорости со временем определяется вектором углового ускорения
Скалярная величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения.
L
L’
O’

Уравнение моментов для материальной точки
Как уже говорилось момент импульса МТ, двигающейся по окружности:
Производная по времени равна:
В соответствии с законом изменения момента импульса для МТ получаем:

Абсолютно твердое тело
Под твердым телом будем подразумевать абсолютно твердое тело, в котором расстояния между любыми двумя точками неизменны. Твердое тело можно представить как совокупность большого количества очень малых масс , которые можно считать МТ. Теорема о движении центра масс твердого тела:
центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, и к которой приложены все внешние силы, действующие на тело. Т.е. раньше мы говорили о МТ и о систем МТ и ее центре масс теперь еще и об абсолютно твердом теле.

Момент инерции твердого тела
Твердое тело можно представить как систему МТ, удерживаемых внутренними силами на неизменных расстояниях друг от друга и по аналогии с МТ записать:
Пусть момент импульса i-й частицы , ri — радиус окружности, по которой движется МТ относительно оси вращения тела. Направление Li относительно оси вращения всех точек тела одинаковое, так как в каждый момент времени направление и величина угловых скоростей всех точек одинаковы (тело твердое).
Величина называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Направление векторов L и ω совпадают только в случае симметричного тела.

Уравнением моментов
Заменив в выражении для кинетической энергии
массу на момент инерции I, а скорость v на угловую скорость ω получим кинетическую энергию вращающегося вокруг неподвижной оси тела или просто подставив v=ωR:
Подставим момент импульса тела
Это закон изменения момента импульса твердого тела или основной закон динамики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Как и в случае с МТ можно сопоставить все величины для поступательного и вращательного движения.
Скамья Жуковского Т=const

Фигуристка на льду и Торнадо:
Что общего?
Сохранение кинетической энергии? Приблизительно !
Торнадо – увеличивается масса того, что поднято с Земли - увеличивается момент инерции и увеличивается кинетическая энергия. Как зависит I от радиуса торандо ?
Узнаем чуть позже ~ R2
Куда расходуется кинетическая энергия? Вспомним
машины, цунами, лавины…..

Условия равновесия твердого тела
В общем случае для равновесия абсолютно твердого тела необходимо выполнение двух условий.
Сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:
Сумма моментов внешних сил относительно любой точки должна быть равна нулю:

Момент инерции в природе
Самолеты убирают шасси во время полета, а, например, пчелы, напротив, вытягивают вперед задние лапки для того, чтобы лететь устойчиво с большей скоростью.
При максимальной скорости в 7.25 метров в секунду пчелы теряют вращательную устойчивость. Это говорит о том, что скорость пчелы ограничивает не сила мускулов или амплитуда машущих крыльев, а наклон тела и умение балансировать в неустойчивом положении. Т.е. определенной скорости пчелы умеют управлять своим моментом инерции и изменять моментом импульса так чтобы обеспечить условия равновесия (нулевую сумму моментов внешних сил).

Механика поступательного и вращательно движения относительно неподвижной оси
Все выражения для МТ и для твердого тела внешне очень похожи. 2-го закон Ньютона:
Аналогами также являются: координата х - угол ϕ, линейной скорости v - угловая скорость ω , линейного ускорения a - угловое ускорение β , массы m - момент инерции I, силы F - момент силы N, импульса р - момент импульса L, кинетическая энергия mv2/2 - кинетическая энергия Iω2/2, работа dA=Fsds - работа dA=Nω dϕ мощность P=Fvv - P=Nω ω

Момент инерции полого цилиндра
Найдем момент инерции полого цилиндра относительно его оси симметрии ОО.
где m — масса цилиндра.
Итак, момент инерции полого цилиндра прямо не зависит от высоты этого цилиндра (косвенно естественно зависит так как чем больше высота тем больше площадь и масса). Точно также выглядит и выражение для момента инерции обруча.

Момент инерции сложных тел
Для полного определения момента инерции более сложных тел выражение следует уточнить, устремив элемент к нулю и найдя соответствующий предел:
Как известно, такой предел называется интегралом:
Интегрирование производится по всему объему тела V. Если плотность тела ρ постоянна, то ρ можно вынести из под знака интегрирования. Но даже для яйца (желток, белок и скорлупа имеют разную плотность)! Земля?

Момент инерции сплошного цилиндра и однородного шара
Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии ОО можно найти разбив его на цилиндры радиуса r и толщиной dr. Так как объем одного слоя равен dV=2πrhdr то
- плотность, dr и h –толщина и высота цилиндра . А у полого цилиндра было mR2. Чем удаленнее масса от центра тем больше I. При равных m и R у полого момент инерции I в 2 раза больше Опыт с двумя скатывающимися цилиндрами.
Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

Теорема Штейнера
Зная момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно произвольной оси вычисляют по теореме Штейнера:
момент инерции относительно произвольной оси I равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями d.
Вспомним опыт с гантелями на скамье Жуковского