Золотая теорема геометрии

Золотая теорема геометрии
Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
Елекова Э.М. Республика Алтай

Смотри и докажи!
(∆ АВС- прямоугольный равнобедренный)
Елекова Э.М. Республика Алтай

Смотри и докажи!
Елекова Э.М. Республика Алтай

Доказательство Вальдхейма ( по некоторым данным: Джеймса Гарфилда (двадцатого президента США, 1880 г)
Елекова Э.М. Республика Алтай
Площадь трапеции с основаниями а и в, и высотой а+в можно вычислить двумя способами:
S= (a+b)2/2 S= 2(ab/2) + c2/2

Смотри и докажи, применяя свойства площадей.
Елекова Э.М. Республика Алтай

Доказательство индийского математика Басхары
Елекова Э.М. Республика Алтай
a
b
c
Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной, равной длине большего катета b

Отложим точно такие же треугольники как показано на рисунке.
Елекова Э.М. Республика Алтай

На рисунке есть квадрат, площадь которого равна b2
Есть квадрат, площадь которого равна c2
Елекова Э.М. Республика Алтай

Квадрат со стороной с состоит из четырех треугольников с катетами a и b и одного квадрата со стороной b-a
Елекова Э.М. Республика Алтай
a
b
с

Рассуждения:
Большой квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников с катетами а и b и одного квадрата со стороной b-a
т.е. с2=4∙Sтр + (b-a)2=
= 4∙(ab/2) + (b-a)2= 2ab + b2 - 2ab + a2 =
= a2 + b2
Итак, с2 = a2 + b2 что и требовалось доказать.
Елекова Э.М. Республика Алтай

Елекова Э.М. Республика Алтай
Повернем треугольник АВС вокруг С на 900
Доказательство Хоукинса

Елекова Э.М. Республика Алтай
S САА1 = b2/2
S СВВ1 = a2/2
SAA1BB1 = (a2 + b2)/2
с - общая сторона ∆ А1ВВ1 и ∆ А1АВ1 B1D┴ AB
SAA1BB1= (c∙BD + c∙ AD)/2 =
= (c∙ AB)/2 = c2/2
(a2 + b2)/2 = c2/2 a2 + b2 = c2
что и требовалось доказать.
Рассуждения