Дифракция света. (Лекция 36)

Зоны Френеля
Для упрощения вычислений суммарного вектора
Френель предложил выделять в отверстии кольцевые зоны в пределах каждой из которых разность хода Δ изменяется на λ/2.

Пятиминутка. Сколько зон Френеля уместится в отверстии диаметром 0.5 мм, если расстояние от источника света до отверстия равно 10 см, а от отверстия до экрана – 10 мм. Длина волны света равна 550 нм. (Отв. m≈46)

Дифракционная картина от маленького отверстия представляет собой чередование светлых и темных колец. Освещенность центрального пятна опреде-лится формулой (35.5). В зависимости от размеров и длины волны там может быть максимум, минимум освещенности или промежуточная ее величина. Зонные пластинки.
Представим себе прозрачную пластинку на которую нанесены непрозрачные
кольца, закрывающие четные зоны
Френеля. Вклад этих зон в осве-
щенность центральной точки диф-
ракционной картины будет нуле-
вым.

В результате при вычислении освещенности центральной точки дифракционной картины вместо спирали Френеля мы получим картину, показанную на рисунке. Модуль суммарного светового вектора окажется значительно больше, чем при отсутствии преграды. Такая пластинка, которую
называют амплитудной, будет действовать подоб-но линзе, фокусируя лучи в центральной точке.
Еще более эффективной оказывается фазовая зонная пластинка, которая не отсекает свет четных зон Френеля, а увеличивает для них длину оптического пути на λ/2. Для этого на четных зонах пластинка чуть более толстая.

В результате мы получаем плос-кую и тонкую линзу, очень по-лезную во мно-гих практичес-ких случаях.
Задача: Фазовая зонная пластинка изготавливает-ся из стекла с коэффициентом преломления 1.5. Определить радиусы колец, на которых необходи-мо утолщение пластинки и величину утолщения, если пластинка должна заменить линзу с оптичес-кой силой 15 дптр.

Дифракция от круглого диска
Диск закрывает цент-
ральные зоны Френе-
ля. При этом спираль
Френеля теряет край-
ние витки, что почти
не изменит световой
Вектор в точке Р.
Следовательно, освещенность этой точки не должна измениться в сравнении со случаем отсутствия преграды. Дифракционная картина будет иметь вид, показанный на рисунке

Светлое пятно в центре тени от
диска называется пятном Пуассона.
При опытах вместо диска обычно
используют маленький шарик
Дифракция от прямого края полуплоскости
характеризуется проникновением части световой энергии в область геометрической тени. В осве-щенной области (справа от края полуплоскости) образуется система параллельных краю полос, период и контрастность которых убывают по мере удаления от границы

Разбиение на зоны ведется путем последовательного до
бавления малой длины к рас-стоянию b от точки наблюде-ния P до границы полуплос-.
кости. Поперечный размер зон быстро убывает, поэтому амплитуды вторичных волн от элемен-тарных зон убывают быстрее, чем в случае круг-
лого отверстия. При этом спираль «Френеля» свивается быстрее, как показано на рисунке. Она называется спиралью Корню (клотоида)
Рис. 35.3
Рис. 35.4

В таком виде спираль корню может использоваться для определения ос-вещенности в области геометричес-кой тени. Пусть точка наблюдения сдвинулась влево, в область тени. Тог-да спираль потеряет внешние витки, соответствующие расстоянию смеще-ния Δх. Конец результирующего век-тора останется на месте, - в центре
спирали, а начало сдвинется по спирали, как показано на рисунке. Модуль суммарного светового вектора уменьшится. Дальнейшее движение влево будет сдвигать начало светового вектора по спирали и уменьшать его модуль.
Рис. 35.5

Для вычисления освещенности экрана справа от тени необходимо продолжить спираль в область
соответствующую зонам ле-вее точки наблюдения. В си-лу симметрии получится такая же спираль, закручи-вающаяся в противополож-ную сторону. Теперь можно построить световой вектор. Его конец по-прежнему в фокусе верхней спирали, а начало – в той точке нижней спирали, которая соответсвует Δх.

По мере движения в освещенную область начало суммарного светового вектора движется по нижней спирали, при этом его длина и освещенность экрана испытывает несколько заметных колебаний. Эти колеба-ния видны на фотогра-фии, сделанной через микроскоп в луче лазера.
Рис. 35.7

Дифракция Фраунгофера
(дифракция в параллельных лучах). Источник света считается отнесенным в бесконечность, так что свет от него падает на преграду пучком параллель-ных лучей. Экран, на котором рассматривается ди-фракционная картина также расположен в беско-нечности. Для имитации этого экран располагается
В фокусе положитель-ной линзы. На рисун-ке показана схема опыта с дифракцией Фраунгофера на щели.
Рис. 35.8

Дифракция Фраунгофера от длинной щели
Для нахождения амплитуды светового вектора по принципу Гюйгенса-Френеля разобьем щель на мелкие участки dy и просуммируем векторы колебаний, доставляемых волнами от каждого участка.
Для точки О оптические пути волн от каждого из участков одинаковы. Все волны приходят в одной фазе, и картина суммирования получается простой.
Рис. 35.9

суммируемых векторов коле-баний. На рис. Показано определение амплитуды светового вектора для разных направлений.
Рис. 35.11

При φ=0 дуга окружности разворачивается в прямую линию, что соответствует центральному максимуму дифракционной картины.
При увеличении угла φ суммируемые векторы лежат на дуге окружности, а их сумма – амплитуда светового вектора выражается хордой этой дуги. Угол дуги – α равен разности фаз волн исходящих из крайних точек щели (точек А и В). При известной ширине щели – b, угле дифракции – φ и длине волны – λ разность хода волн от крайних точек и разность их фаз в точке схождения можно выразить геометрически:
Δ=b*sin(φ)
α=2πΔ/λ= 2π*b*sin(φ) /λ (36.3)

Рис. 35.12

щель, тем шире главный максимум. На него приходится более 90% светового потока. Однако боковые максимумы также видны.
Рис. 35.13

Дифракция на проволоке. Принцип Бабине.
Для нахождения дифракционной картины от проволоки толщиной d проведем следующие рассуждения. При расчете дифракционной кар- тины от щели той же ширины d мы искали суммарный вклад от вторичных источников, распо- ложенных на открытой части исследуемого объекта. Для проволоки, наоборот, данная часть объекта будет закрытой, а остальное пространство открытым. Такие объекты, как бы дополняющие друг друга, носят название дополнительных.

Обозначим распределение поля на экране в слу-чае дифракции на щели Uщ(φ), а на проволоке - Uп (φ), где φ – угловая координата после препятствия. Тогда сумму полей Uщ(φ) + Uп (φ) можно предста-вить как сумму интегралов по открытым областям для каждого из этих объектов, или как интеграл от суммы открытых областей. Но отверстия для дополнительных объектов располагаются так, что "открывают" весь волновой фронт падающего излучения, следовательно Uщ(φ) + Uп(φ) = U0(φ) , где U0 (φ) — волновое возмущение на экране в случае отсутствия какого-либо препятствия.

Таким образом, сумма распределений полей от дополнительных объектов равна полю, наблю-даемому на экране при отсутствии препятствия. Полученный результат носит название принципа Бабине.
Если исходное поле U0 (φ) пучок параллельных лу-чей, идущих под углом φ =0, то для φ ≠0 U0 (φ)=0. В этом случае для φ ≠0 принцип Бабине дает
Uщ(φ)=-Uп(φ) = 0. Но интенсивность света – это квадрат амплитуды, следовательно при ϕ≠0 : Iщ(φ)=Iп(φ). (36.7)
Т.е. дифракционная картина от щели шириной d и проволоки той же толщины одинаковы, за исключением области φ =0.

Дифракционная решетка.
Дифракционная решётка - оптический прибор, предназначенный для анализа спектрального сос-тава оптического излучения. Дифракционная ре-шётка состоит из тысяч узких и близко располо-женных щелей. Из-за интерференции вторичных волн интенсивность света, прошедшего через диф-ракционную решётку различна в различных нап-равлениях. Имеются выделенные направления, в которых световые волны от различных щелей ре-шётки складываются в фазе, многократно усиливая друг друга.

При освещении решётки монохроматическим светом на её выходе наблюдаются узкие лучи с большой интенсивностью. Так как направления на интерференционные максимумы зависят от длины волны, белый свет, прошедший через дифракцион-ную решётку, будет расщепляться на множество лучей разного цвета. Таким образом мы можем исследовать спектральный состав света.
Рис. 35.14

Оптическая схема анализатора спектра с дифрак-ционной решеткой: Узкая щель, находящаяся в фо-кусе линзы L1, освещается источником света. Параллельный пучок света после линзы направ-ляется на дифракционную решетку. За решеткой находится вторая линза, которая формирует изоб-ражение щели на экране в своей фокальной пло-
скости. Диф-
ракция на ре-
шетке приво-
дит к тому, что
изображение
щели оказыва-
ется в различных местах для волн с различной λ.

Рассмотрим простейшую дифракционную решет-ку, работающую на пропускание. Эта решетка представляет собой плоский экран с чередующи-мися прозрачными и непрозрачными полосами. Все прозрачные полосы имеют одинаковую шири-ну - а. Все непрозрачные полосы также имеют одинаковую ширину - b. Сумма a+b=d называется
шагом (или перио-дом) решетки. Об-щее число штрихов решетки обозначим N. Тогда ширина решетки равна произведению Nd
Рис. 35.15

Главный дифракционный максимум образуется при условии, что волны от соседних штрихов ре-шетки приходят в точку наблюдения в одинаковой фазе. Для этого соответствующая разность хода Δ=dsin(φ) должна быть кратна λ. Поэтому условие т.н. главных максимумов запишется в виде:
dsin(φmax)=mλ, (36.8)
где m - целое число, называемое порядком глав-ного максимума. Это основная формула дифракци-онной решетки.
Пятиминутка: решетка имеет 300 штрихов на 1 мм. Длина волны света 500 нм. Определить угол направления на гл. максимум 2 порядка.

Оценим амплитуду дифрагировавшей волны и ее зависимость от угла дифракции φ. Разность фаз между волнами от соседних щелей одинакова. Число щелей велико. Тогда картина сложения амплитуд будет аналогична картине сложения при дифракции на одной щели. Векторы амплитуд будут лежать на дуге окружности.
При изменении направления наблюдения φ дуга окружности будет сворачиваться или разворачи-ваться в дугу меньшего или большего радиуса при сохранении длины дуги.

Направление главного максимума соответствует условию, когда дуга разворачивается в прямую линию. Если дуга сворачивается в окружность, то интенсивность света в этом направлении равна нулю. При этом разность фаз волн от первого и последнего штрихов решетки равна 2kπ.
Следовательно разность фаз волн двух соседних щелей равна 2kπ/N. Угол
направления на минимум будет удовлетворять условию: dsin(φmin)=mλ+kλ/N, (36.9)
где k – целое число от 1 до N-1
Рис. 35.16

Сравним условия дифракционного максимума (35.7) и дифракционного минимума (36.9)
dsin(φmax)=mλ, – условие максимума (36.8)
dsin(φmin)=mλ+kλ/N, – условие минимума (36.9)
Видим, что (36.9) является общей формулой экстремумов амплитуды светового вектора при дифракции на решетке. Если k=0 или k=N, формула выражает направление на максимум. В слачаях k=1, 2, 3…N-1, формула дает
угол направления на минимум.
Отсюда следует вывод о том, что
между соседними главными
максимумами находятся N-1
минимум.
Рис. 35.17

Определим угловую ширину какого-либо главного максимума как разность углов φmax- φmin при k=1, т.е. угловое расстояние между главным максимумом и ближайшим к нему минимумом
Взяв разность синусов углов максимума и ближайшего минимума, получим
dsin(φmax)- dsin(φmin)= λ/N. Используем тригонометрическую формулу
sin(α1)-sin(α2)=-2cos(α1/2+ α2/2)sin(α1/2-α2/2)
Поскольку углы φmax и φmin близки, можно записать
φmax- φmin=λ/(Ndcos(φmax)) (36.10)