Градиент и его свойства

Составим отношение и перейдем к пределу, устремив ε к 0, полученный
предел назовем производной ϕ по направлению s в точке М и обозначим через
и так как
Знание производной для любого направления s позволяет вычислить во
всех точках, соседних с точкой М, значение функции ϕ с точностью до членов второго порядка малости.
то получается соотношение:
Для вычисления введем систему координат х, у, z и заметим, что
функция ϕ (х, у, z) будет сложной функцией от s через посредство х, у, z. По правилу дифференцирования сложных функций мы получим
(9.5)
(9.6)
(9.8)
(9.9)

Если мы определим вектор, составляющие которого по основным ортам есть
, то его составляющая по любому направлению s будет .
Назовем этот вектор градиентом ϕ в точке М и обозначим символом grad ϕ. Его составляющие
Таким образом
вспомним правило преобразования составляющих вектора а
Этот вектор не зависит от выбора системы координат х, у, z, так как его составляющие по любому направлению были определены непосредственно.
Величина grad ϕ равна
Производная по любому направлению s равна проекции grad ϕ на это направление, следовательно
(9.10)
(9.11)
(9.12)
(9.13)

Из других обозначений градиента ϕ укажем, как наиболее употребляемое, ∇ϕ, где знак ∇ читается «набла». При этом обозначении мы будем иметь
который, будучи применен к скаляру ϕ, дает grad ϕ. Этот оператор, можно рассматривать также как символический вектор. Его называют иногда оператором Гамильтона.
Из этой формулы видно, что ∇ является дифференциальным оператором.
Из этой формулы видно, что достигает наибольшего значения для направления s, совпадающего как раз с направлением grad ϕ, причем это наибольшее значение равно величине grad ϕ. Поэтому можно дать другое определение градиента:
Градиентом ϕ называется вектор, имеющий направление быстрейшего увеличения ϕ и по величине равный производной по этому направлению.
(9.14)
(9.15)
(9.16)

Проведем через точку М поверхность уровня функции ϕ и докажем, что вектор градиента ϕ направлен по нормали к этой поверхности уровня в точке М.
СВОЙСТВА ВЕКТОРА grad ϕ
Так как на поверхности уровня ϕ = const, то производная по всякому направлению s, лежащему в касательной плоскости к поверхности уровня в точке М, равна нулю, следовательно, для всякого такого направления по (9.14)
что может быть только, если grad ϕ перпендикулярен к поверхности уровня в точке М.
Проведем через точку М (рис. 10.1) поверхность уровня ϕ = const, к этой поверхности уровня восставим в точке М нормаль MN и отложим по этой нормали вектор
.
grad ϕ направлен в ту сторону нормали, куда ϕ возрастает.
Связь между градиентом функции ϕ и производной от ϕ по различным направлениям имеет очень простое геометрическое истолкование.
(10.1)

Если бы луч Ms' не пересекал сферу, то, продолжив его в другую сторону, мы нашли бы точку K' и получили бы, что
Из формулы
Если единичный вектор нормали к поверхности уровня обозначить через n, а
производную от функции ϕ по направлению этой нормали через , то, очевидно, будет
Построим далее на MN, как на диаметре, сферу и рассмотрим какой-нибудь луч Ms, проходящий через точку М и имеющий направление s. Пусть этот луч пересечет сферу в точке K.
Так как угол при K в Δ MNK есть прямой (по известному свойству окружности), то МK является проекцией MN на направление Ms; но проекция grad ϕ на какое-либо направление есть производная ϕ по этому направлению, следовательно, мы получаем, что
вытекает, если через d r = s ds обозначить бесконечно малый вектор, идущий из точки М в направлении s, следующее соотношение:
(10.2)
(10.3)

Разберем несколько примеров вычисления градиента.
Самым важным случаем является тот, когда ϕ зависит только от расстояния точки до некоторой определенной точки, которую мы выберем за начало координат.
а направлен grad ϕ в ту сторону, куда ϕ возрастает, т. е. при положительном
ϕ' (r) ортом grad ϕ служит , а при отрицательном ϕ' (r) ортом grad ϕ является -
Пусть . Поверхностями уровня служат концентрические сферы с центром в начале координат. Нормаль к поверхности уровня совпадает с радиусом-вектором, поэтому по величине grad ϕ равен
Если мы найдем такой вектор а, что для произвольного dr будет
то можем утверждать, что а = grad ϕ, ибо d ϕ = dr∙a = dr∙ grad ϕ приводит к соотношению dr∙ (a − grad ϕ) = 0; откуда видно, что а − grad ϕ перпендикулярно к любому направлению, что может быть только, если а = grad ϕ.
(10.4)
Таким образом, всегда будет
(10.5)
Докажем основные в теории градиента формулы
(10.3*)