Размерность Минковского. Вычисление размерности

Понятие размерности
Интуитивно мы понимаем термин размерность как число координат, необходимых для задания положения точки внутри фигуры. Так, любая линия (например, окружность или прямая) одномерна – достаточно всего одной координаты, чтобы точно указать точку, а плоскость и поверхность шара двумерны. Но в математике такое «определение» не всегда работает хорошо: его трудно применить к очень большому числу разнообразных фигур и множеств, в том числе и к фракталам. Поэтому фрактальную размерность определяют по-другому.

Допустим, что фигура F, размерность которой мы хотим найти, расположена на плоскости. А плоскость, в свою очередь, покрыта сеткой из квадратиков со стороной . Через обозначим число квадратиков, которые пересекаются с фигурой F (объединение всех таких квадратиков содержит в себе F). Ясно, что это число зависит от размера квадратиков: чем они меньше, тем больше их нужно, чтобы покрыть фигуру. Если эта зависимость выражается степенным законом: число пропорционально некоторой степени , то будем считать, что фигура F имеет размерность D (вполне может случится, что число D не целое).

Размерность Минковского
Определение, данное на прошлом слайде, и является определением фрактальной размерности по Минковскому. Для «хороших» фигур оно дает тот же результат, что и интуитивное представление о размерности.
В более общем случае размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна
где – минимальное число множеств диаметра , которыми можно покрыть наше множество.

Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.
Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества для которых они различны.

Примеры
Размерность отрезка равна 1, так как необходимо отрезков длины , чтобы покрыть отрезок длины a. Таким образом
Размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной a, ведет себя примерно как .
Размерность кривой Коха равна .

Свойства
Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения.
Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.