Системы сил в статике

Плоские системы сил
Система сходящихся сил – силы такой системы лежат в одной плоскости, причем все они (или линии их действия) пересекаются в одной точке (рис.2.1).
Система произвольно расположенных сил – силы такой системы лежат в одной плоскости, причем часть из них может пересекаться в одной или разных точках, а некоторые могут вообще не пересекаться (рис.2.2).
Частными случаями плоской системы сходящихся сил являются:
система двух сил; система трех сил; система четырех и более сил.

2.2 Система трех сходящихся сил
Главной задачей статики является составление уравнений равновесия для каждой из систем, которые позволяют найти реакции и усилия в теле от действия сил.
В статике для любого из приведенных случаев могут быть решены следующие задачи:
-сложение или вычитание сил;
-нахождение условий равновесия сил.
Эти задачи могут быть решены двумя способами: графическим (использование графических действий над векторами) и аналитическим (использование способа проекций).
Система трех сил, под действием которых тело находится в равновесии, - это наиболее распространенный случай, встречающийся в практических задачах.
Общий порядок решения задач о равновесии трех сил аналитическим способом.
Суть аналитического способа состоит в том, что сумма проекций всех находящихся в равновесии сил на обе координатные оси Ох и Оу должна быть равна нулю.
∑Х=0; ∑Y=0
(2.1)
∑Х, ∑Y – алгебраическая сумма проекций сил на ось х и ось у.

Еще проще уравнения можно записать в виде:
F1х + F2х + F3х = 0; F1у + F2у + F3у =0;
(2.2)
где F1х, F2х, F3х - проекции сил F1, F2, F3 на ось Х, F1у, F2у, F3у -на ось Y.
Для решения задач аналитическим способом должны быть известны углы между силами и координатными осями.
Общий порядок решения задач о равновесии трех сил графическим способом.
Устанавливают масштаб сил. Из произвольной точки на листе в принятом масштабе откладывают заданные две силы, или заданную силу и направления двух других. Строят силовой треугольник. Если заданы две силы, то третью – уравновешивающую можно найти, соединив конец вектора 2-й силы и начало вектора 1-й (рис.2.3,б). В начало вектора 1-й силы будет направлена стрелка вектора уравновешивающей силы. Если заданы одна сила и направления действия 2-й и 3-й силы, которые уравновешивают первую, то через начало и конец вектора 1-й силы проводят две параллельные заданным направлениям линии так, чтобы они пересеклись в одной точке и получился треугольник (рис.2,4б,в). Измеряют в масштабе сил каждый вновь полученный отрезок и находят величины сил. Ставят стрелки на полученных отрезках так, чтобы все они были направлены в одну сторону при обходе треугольника, т.е. конец вектора 3-й силы совпадал с началом вектора 1-й.

Пример 2.1. Найти величины и направления действия уравновешивающих сил F2 и F3 графическим и аналитическим способами, если заданы величина силы F1=20кН и линии действия сил F2 и F3 (рис.2,5,а).

Решение графическим способом
Принимаем масштаб сил: 1см-10кН.
Из произвольной точки а откладываем в масштабе известную силу F1, длина вектора которой равна длине отрезка ab=2см (рис.2.5,б).
Через начало и конец вектора силы F1, т.е. через точки a и b, проводим линии, параллельные линиям действия сил F2 и F3 так, чтобы они пересеклись в одной точке с. При этом силы F2 и F3 могут оказаться как справа от силы F1 (рис.2.5,б), так и слева от нее (рис.2.5,в). Это не является ошибкой, но все же правильнее, когда при обходе треугольника номера сил идут в нарастающем порядке, т.е. вариант F1, F2, F3 предпочтительнее. Силы F2 и F3 являются уравновешивающими силу F1 .
Измеряем отрезки bc и ca (2,8см и 2,5см). Так как 1см соответствует 10кН, получаем F2 =28кН и F1 =25кН
Расставляем стрелки на отрезках bc и ca . Поскольку направление силы F1 задано (вниз), остальные силы должны быть направлены так, как показано на рис.2.5,б.в, при этом конец вектора силы F3 будет совпадать с началом вектора силы F1.
Решение аналитическим способом
1. Проводим оси координат Ох и Оу. Силы направляем из начала координат по заданным линиям действия 3-3 и 2-2. Направление выбираем произвольно (например, влево - рис.2.5,г). Проставляем углы между направлениями всех сил и координатными осями.

2. Составляем уравнение в форме (2.1):
3. Из первого уравнения получаем выражение для F2:
4. Подставляем выражение для F2 во второе уравнение и находим F3 :
5. Определив F3 находим F2 :
F2 направлена в сторону, противоположную показанной на рис.2.5,г, о чем говорит знак «минус» . Направление силы F3 совпадает с ранее заданным на рис.2.5,г.
Вывод: сравнив ответы, можно сделать вывод о том, что аналитический способ более точный.

2.3 Система четырех и более сходящихся сил
При решении задач о равновесии четырех и более сходящихся сил необходимо выполнить одно условие: неизвестных сил должно быть не более двух и при этом должны быть известны линии их действия. Остальные силы должны быть известны и по величине и по направлению.
Для самостоятельного решения !
Задача 2. Определить величины и направления действия сил F4 и F5, уравновешивающих
известные силы F1 , F2 и F3 графическим и аналитическим способами при заданных F1 , F2, F3 (рис.2.5). Исходные данные взять из таблицы 1 (см. следующий кадр).
Рисунок 2.5