Уравнение неразрывности. Лекция 5

Содержание

Слайд 2

Уравнение неразрывности

.

Относительное изменение объёма по времени равно

(4.31)

(4.32)

(4.33)

(4.34)

(4.35)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике,

Уравнение неразрывности . Относительное изменение объёма по времени равно (4.31) (4.32) (4.33)
2020

Слайд 3

Уравнение неразрывности

.

(4.36)

(4.37)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Уравнение неразрывности . (4.36) (4.37) Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 4

Уравнение неразрывности

.

Частные случаи уравнения неразрывности
1) Установившиеся течение

2) Несжимаемое течение

(4.38)

(4.39)

Фролов

Уравнение неразрывности . Частные случаи уравнения неразрывности 1) Установившиеся течение 2) Несжимаемое
В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

(4.40)

Слайд 5

Безвихревое течение

.

Определение. Безвихревое течение такое течение, при котором выполняется равенство

(5.1)

(5.2)

[(4.24)]

(5.3)

Фролов В.А.

Безвихревое течение . Определение. Безвихревое течение такое течение, при котором выполняется равенство
Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 6

Потенциал скорости

Введём скалярную функцию

так, чтобы выполнялись равенства

(5.4)

(5.5)

Подстановка (7.4) в (7.3) даёт

Потенциал скорости Введём скалярную функцию так, чтобы выполнялись равенства (5.4) (5.5) Подстановка
тождества

(5.6)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 7

Потенциальное течение

Из (5.5) следует

Следовательно

Определение. Течение, для которого существует функция ϕ(x,y,z) называется потенциальным

Потенциальное течение Из (5.5) следует Следовательно Определение. Течение, для которого существует функция
течением.

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 8

Безвихревое течение

(5.11)

Потенциальное течение

Определение. Любое безвихревое течение является потенциальным и наоборот, любое потенциальное

Безвихревое течение (5.11) Потенциальное течение Определение. Любое безвихревое течение является потенциальным и
течение является безвихревым.

Безвихревое течение эквивалентно потенциальному течению

Потенциальное и безвихревое течения

(5.12)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 9

Уравнение Лапласа

Уравнение вида

Называется уравнением Лапласа

Поскольку

Уравнение Лапласа

ГУ:
I-го рода (ГУ Дирихле);
II-го

Уравнение Лапласа Уравнение вида Называется уравнением Лапласа Поскольку Уравнение Лапласа ГУ: I-го
рода (ГУ Неймана);
III-го рода (ГУ Робина);

ДУЧП второго порядка

(5.13)

(5.14)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 10

Функция тока

.

Уравнение неразрывности для несжимаемого потока:

Рассмотрим для краткости 2D течение

Введём скалярную

Функция тока . Уравнение неразрывности для несжимаемого потока: Рассмотрим для краткости 2D
функцию ψ(x,y), так чтобы выполнялись условия

Подстановка в уравнение неразрывности даёт тождество

[(4.40)]

(5.15)

(5.16)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 11

Функция тока

.

Рассмотрим уравнение линии тока.

Дифференциальное уравнение линии тока:

Вдоль линии тока функция

Функция тока . Рассмотрим уравнение линии тока. Дифференциальное уравнение линии тока: Вдоль
ψ(x, y)=const. Функция ψ(x, y) получила название функции тока.

[(4.18)]

(5.17)

Определение. Скалярная функция, сохраняющая постоянное значение вдоль линии тока называется функцией тока.

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 12

Трубка тока, струйка тока

Линии тока никогда не пересекаются. Каждую линию тока можно

Трубка тока, струйка тока Линии тока никогда не пересекаются. Каждую линию тока
рассматривать как границу твердого тела.

Определение 1. Линии тока пересекающие в пространстве замкнутую кривую образуют трубку тока

Рисунок 5.1 – Трубка тока

Определение 2. Жидкость, протекающая по трубке тока называется струйкой.
Определение 3. Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало (dS), то такая трубка называется элементарной трубкой тока, а струйка - элементарной струйкой.

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 13

Гидродинамический смысл функции тока

Рисунок 5.2 – К гидродинамическому смыслу функции тока

Вычислим

Гидродинамический смысл функции тока Рисунок 5.2 – К гидродинамическому смыслу функции тока
секундный расход жидкости между двумя линиями тока

(5.18)

(5.19)

Следовательно, разность значений функций тока в двух каких-нибудь точках потока равна секундному объёмному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 14

Уравнение Лапласа для функции тока

Воспользуемся условием безвихревого 2D течения

[(4.24)]

Функция тока определяется формулами

Уравнение Лапласа для функции тока Воспользуемся условием безвихревого 2D течения [(4.24)] Функция

[(5.16)]

(5.17)

Подстановка (5.16) в (4.24) даёт

Уравнение

- уравнение Лапласа для функции тока

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 15

Краевая задача Дирихле
для уравнения Лапласа

[(5.18)]

Граничные условия

Последнее условие на поверхности тела называется

Краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа [(5.18)] Граничные условия Последнее условие на
условием непротекания.

(5.19)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 16

Наложение потенциальных потоков

Пусть имеется n потенциальных течений с потенциалами скоростей

Суммирование уравнений

Наложение потенциальных потоков Пусть имеется n потенциальных течений с потенциалами скоростей Суммирование
Лапласа (8.1) даёт

Обозначение

приводит к уравнению Лапласа

Любой потенциальный поток НИЖ можно представить как
результат наложения друг на друга более простых
потенциальных течений.

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Слайд 17

Условия Коши-Римана. Ортогональность линий

(5.23)

(5.24)

- условия C-R

- ортогональность линий

(5.25)

Фролов В.А. Лекции

Условия Коши-Римана. Ортогональность линий (5.23) (5.24) - условия C-R - ортогональность линий
по аэродинамике, 2020

Слайд 18

Комплексный потенциал

Согласно теореме Римана условия Коши-Римана являются условиями
существования аналитической функции

(5.26)

Функция w(z)

Комплексный потенциал Согласно теореме Римана условия Коши-Римана являются условиями существования аналитической функции
называется комплексным потенциалом

- эквипотенциали

- линии тока

(5.27)

(5.28)

(5.29)

Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Имя файла: Уравнение-неразрывности.-Лекция-5.pptx
Количество просмотров: 54
Количество скачиваний: 0