Уравнение неразрывности. Лекция 5

Уравнение неразрывности
.
Относительное изменение объёма по времени равно
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Уравнение неразрывности
.
(4.36)
(4.37)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Уравнение неразрывности
.
Частные случаи уравнения неразрывности
1) Установившиеся течение
2) Несжимаемое течение
(4.38)
(4.39)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020
(4.40)

Безвихревое течение
.
Определение. Безвихревое течение такое течение, при котором выполняется равенство
(5.1)
(5.2)
[(4.24)]
(5.3)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Потенциал скорости
Введём скалярную функцию
так, чтобы выполнялись равенства
(5.4)
(5.5)
Подстановка (7.4) в (7.3) даёт тождества
(5.6)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Потенциальное течение
Из (5.5) следует
Следовательно
Определение. Течение, для которого существует функция ϕ(x,y,z) называется потенциальным течением.
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Безвихревое течение
(5.11)
Потенциальное течение
Определение. Любое безвихревое течение является потенциальным и наоборот, любое потенциальное течение является безвихревым.
Безвихревое течение эквивалентно потенциальному течению
Потенциальное и безвихревое течения
(5.12)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Уравнение Лапласа
Уравнение вида
Называется уравнением Лапласа
Поскольку
Уравнение Лапласа
ГУ:
I-го рода (ГУ Дирихле);
II-го рода (ГУ Неймана);
III-го рода (ГУ Робина);
ДУЧП второго порядка
(5.13)
(5.14)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Функция тока
.
Уравнение неразрывности для несжимаемого потока:
Рассмотрим для краткости 2D течение
Введём скалярную функцию ψ(x,y), так чтобы выполнялись условия
Подстановка в уравнение неразрывности даёт тождество
[(4.40)]
(5.15)
(5.16)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Функция тока
.
Рассмотрим уравнение линии тока.
Дифференциальное уравнение линии тока:
Вдоль линии тока функция ψ(x, y)=const. Функция ψ(x, y) получила название функции тока.
[(4.18)]
(5.17)
Определение. Скалярная функция, сохраняющая постоянное значение вдоль линии тока называется функцией тока.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Трубка тока, струйка тока
Линии тока никогда не пересекаются. Каждую линию тока можно рассматривать как границу твердого тела.
Определение 1. Линии тока пересекающие в пространстве замкнутую кривую образуют трубку тока
Рисунок 5.1 – Трубка тока
Определение 2. Жидкость, протекающая по трубке тока называется струйкой.
Определение 3. Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало (dS), то такая трубка называется элементарной трубкой тока, а струйка - элементарной струйкой.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Гидродинамический смысл функции тока
Рисунок 5.2 – К гидродинамическому смыслу функции тока
Вычислим секундный расход жидкости между двумя линиями тока
(5.18)
(5.19)
Следовательно, разность значений функций тока в двух каких-нибудь точках потока равна секундному объёмному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Уравнение Лапласа для функции тока
Воспользуемся условием безвихревого 2D течения
[(4.24)]
Функция тока определяется формулами
[(5.16)]
(5.17)
Подстановка (5.16) в (4.24) даёт
Уравнение
- уравнение Лапласа для функции тока
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Краевая задача Дирихле
для уравнения Лапласа
[(5.18)]
Граничные условия
Последнее условие на поверхности тела называется условием непротекания.
(5.19)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Наложение потенциальных потоков
Пусть имеется n потенциальных течений с потенциалами скоростей
Суммирование уравнений Лапласа (8.1) даёт
Обозначение
приводит к уравнению Лапласа
Любой потенциальный поток НИЖ можно представить как
результат наложения друг на друга более простых
потенциальных течений.
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Условия Коши-Римана. Ортогональность линий
(5.23)
(5.24)
- условия C-R
- ортогональность линий
(5.25)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020

Комплексный потенциал
Согласно теореме Римана условия Коши-Римана являются условиями
существования аналитической функции
(5.26)
Функция w(z) называется комплексным потенциалом
- эквипотенциали
- линии тока
(5.27)
(5.28)
(5.29)
Фролов В.А. Лекции по аэродинамике, 2020