Всемирное тяготение. Лекция № 8

План лекции
Закон всемирного тяготения.
Теорема Гаусса.
Гравитационное поле однородного шара.
Финитные и инфинитные движения.
Космические скорости.
Законы Кеплера. Параметры траекторий.
Примеры решения задач по космической динамике. Космические «парадоксы»

Уравнение моментов для частицы и системы частиц
dL/dt = M = [rF] – скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы:
dL/dt = [dr/dt,p] + [r,dp/dt] = [r,dp/dt] = [r,F] = M
Для системы частиц:
dL/dt = Mвнешн – производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна суммарному моменту всех внешних сил относительно того же начала.

Закон сохранения момента импульса относительно точки
dL/dt = M = 0 → L = const
Если момент импульса внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент импульса системы частиц (частицы) относительно того же начала остаётся постоянным

Движение частицы в центральном поле сил
Центральная сила зависит только от расстояния r до силового центра и направлена вдоль r : F = F(r)r/r
Центральная сила не создаёт момента, т.к. плечо центральной силы относительно центра поля равно нулю
В поле центральной силы для частицы L = const
Траектория частицы – плоская кривая, перпендикулярная L и проходящая через силовой центр 0
Секториальная скорость частицы dS/dt = L/2m = const: за равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади (закон площадей).

Связь импульса с секториальной скоростью
dS = ½ [rdr] = ½ [rv]dt
σ = dS/dt = ½ [rv] – секторильная скорость
L =2mσ → σ = L/2m
Если сила, действующая на точку центральная, то:
Траектория – плоская кривая, перпендикулярная L и проходит через силовой центр
За равные промежутки времени радиус – вектор заметает одинаковые площади
σ = L/2m = const

Закон всемирного тяготения
Материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
F = GMm/r2 G = 6,673.10-11 Н м2/кг2
F = - GMm/r2 r/r

Напряжённость гравитационного поля
Напряжённость поля тяготения
g(r) = F/m = -GM/r2 r/r
g(r) = g0R2/r2
Принцип суперпозиции:
Напряжённость поля, создаваемое несколькими телами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым телом в отдельности:
g = g1 + g2 + …

Теорема Гаусса
Поток вектора g через любую замкнутую поверхность равен полной массе внутри поверхности, умноженной на -4πG:
∫gdS = -4πGΣmi = -4πG∫ρdV.
т. Гаусса в дифференциальном форме:
divg = -4πGρ

Гравитационные поля в простейших случаях
Плоскость (σ = m/S – поверхностная плотность): g = -2πGσ
Цилиндр (ρl = m/l – линейная плотность):
g = -2Gρl/r
Однородный шар (g0 = GM/R2) :
g = - g0r/R – внутри шара (r < R)
g = - g0R2/r2 – вне шара (r ≥ R)

Энергия сил гравитационного взаимодействия U = ∫Fdr = -GMm/r
U = ∫Fdr = -GMm/r = - mg0R2/r (U(∞) = 0)
Потенциальная энергия сил гравитационного взаимодействия двух частиц (U(∞) = 0) :
U = - GMm/r
Энергия единичной массы (m = 1) в поле однородного шара (гравитационный потенциал, U(∞) = 0):
U = - 3/2g0R +1/2 g0r2/R - внутри шара (r < R)
U = - g0R2/r – вне шара (r ≥ R)

Границы движения
E = K + U ≥ U
потенциальная энергия
не может превышать полную ⇨
частица не может находиться в областях I и III
II – область финитного движения, частица заперта в «потенциальной яме»
IV – область инфинитного движения
Из области II в область III частице мешает попасть «потенциальный барьер»

Космические скорости
Первая космическая – скорость кругового движения на околоземной орбите:
vI = (g0R)1/2 = 7,9 км/с
Вторая космическая скорость необходима для преодоления земного тяготения по балистической траектории (минимальная скорость):
vII = (2)1/2vI = (2g0R)1/2 = 11,2 км/с
Третья космическая скорость космического аппарата, необходимая для преодоления гравитации Солнца:
vIII = {(21/2 -1)2vз2 + vII2}1/2 ≈ 16,7 км/с

Законы Кеплера
Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которых находится Солнце
Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени заметает равные площади
Квадраты времён обращений планет относятся как кубы больших осей орбит, по которым движутся планеты:
(T2/T1)2 = (2a2/2a1)3

Третий закон Кеплера:
L = const → σ = L/2m = const

Параметры эллиптической орбиты
Радиус круговой орбиты:
r = GM/2|ε|
Большая п/ось эллипса:
a = GM/2|ε|
Малая п/ось:
b = L/m (2|ε|)1/2
Период обращения по эллипсу:
T2 = (4π2/GM)a3

Третий закон Кеплера
mv2/2 – GmM/r = E = const →
r2 + GMr/ε – L2/2m2 ε = 0 → т. Виета
r1 + r2 = 2a = - GM/ε
r1r2 = b2 = - L2/2m2ε = - 2σ2/ε →
b2/a = 4σ2/GM → π2a2b2/a3 = 4π2σ2/GM
площадь эллипса S = πab →
T = S/σ →
T2/a3 = 4π2/GM = const

Спутник связи - стационарный спутник:
Tc = 24 часа. r = ?
Период спутника связи Tc = 1 сут = 24 часа.
TI = 2πR/vI = 84 мин. – время обращения около земного спутника.
Vэкв = 2πR/Tc = 460 м/с – скорость точек экватора
По Кеплеру: (Tc /TI)2 = (r/R)3 ⇨
r = R(T/T0)2/3 = R(vI/vэкв)2/3 ≈ 6,6R

Орбита Земли – эллипс?
В каких пределах изменяется расстояние от Земли до Солнца?
Когда мы к Солнцу ближе, когда дальше?
Как изменяется скорость движения Земли вокруг Солнца?

Что длиннее, - полярный день или полярная ночь?
Дни летнего и зимнего солнцестояния (22 июня и 22 декабря) делят год пополам.
Летний период между днями весеннего и осеннего равноденствия (с 21 марта по 23 сентября) продолжительнее зимнего на одну неделю.

F
O
A(22.06)
P(22.12)
M(23.09)
N(21.03)
Вот так вращается Земля вокруг Солнца (вид «сверху» :))

Решаем
Эллиптичность не велика ⇨
TS/T0 ≈ (πR2/2+ 2FR)/πR2 = ½ + 2F/πR TW/T0 ≈ (πR2/2 - 2FR)/πR2 = ½ - 2F/πR
где R ≈ 150 млн. км — среднее расстояние от Земли до Солнца; F— фокусное расстояние эллипса.
относительное изменение расстояния
ΔR/R=2F/R= π(TS - TW)/2T0 = 3%; ⇨
Относительное изменение скорости
ΔV/V = ΔR/R = 3%
Абсолютное изменение расстояния –
ΔR = RS-RW = 4.5 млн.км.,
Изменение скорости ΔV = 0,9 км/с

Заглянем в таблицу
Vmax (в перигелии) = 30,3 км/с
Vmin (в афелии) = 29,3 км/с
ΔV = 1 км/с (у нас: ΔV = 0,9 км/с)
RS = 152,1 млн. км
RW = 147,1 млн. км
е (эксцентриситет) = 0,0167 (у нас: е = 0,015)
ΔR = RS - RW = 5 млн. км. (у нас: ΔR = 4,5 млн.км)
ΔR/R = 3,3%; (у нас: ΔR/R = 3%)

От Земли по разным траекториям
С полюса Земли запускают ракету со скоростью v0: vI < v0 < vII :
вертикально вверх
Горизонтально
Какая из ракет улетит дальше от Земли?
Решение:
Первая ракета:
ЗСЭ: mv02/2 – mg0R = - mg0R2/r1 ⇨ max. Расстояние до центра Земли
r1 = 2a = R/(1 – v02/2g0R) –
Вторая ракета:
ЗСМИ: mv0R = mvr2;
ЗСЭ: mv02/2 – mg0R = mv2/2 - mg0R2/r2 ⇨ max. Расстояние до центра Земли: r2 = 2a - R = v02/2g0/(1 – v02/2g0R) ⇨
r2/r1 = v02/2g0R = (v0/vII)2 < 1

Пример 2.
Время падения Луны на Землю ☺
Сколько времени будет падать на Землю Луна, если она вдруг остановится?
(время обращения Луны T0 = 28 суток)
Решение:
По третьему закону Кеплера «период обращения» T по выродившемуся в отрезок эллипсу:
(T/T0)2 = (a/a0)3 = (R/2R)3 ⇨ T = T0 (a/a0)3/2 =T0/(8)1/2 ⇨ τ = T/2 = T0/4(2)1/2 ≈ 5 суток.
Земля упадёт на Солнце ☺: за τ = T/2 = T0/4(2)1/2 ≈ 2 месяца

Сила сопротивления разгоняет(?) спутник
Полная энергия на круговой орбите E = К + П = К + (-2K) = - K = - mv2/2
Мощность силы сопротивления N = -Fcv равна изменению полной энергии:
dE/dt = -Fcv → mva = Fcv →
ma = Fc

Скорость снижения спутника
Спутник массой m = 200 кг, запущенный на круговую околоземную орбиту, тормозится в верхних слоях атмосферы. Сила трения Fc = Cv3 (C = 3 10-16 кг с/м2). За какое время спутник снизится на Δh = 100 м и как при этом изменится его скорость?
(скорость снижения vr = dr/dt = - 2CGM/m = -2CgR2/m = -2CvI4/mg ≈ - 1,2 мм/с; t = Δh/vr = 23 часа ≈ 1 сутки; Δv = FcΔt/m = gΔh/2vI ≈ 6 см/с).

Маневры на орбите:
чтобы догнать – надо притормозить! чтобы отстать – надо ускориться!
Корабль и орбитальная Станция на одной круговой
орбите. До орбитальной станции расстояние L = 300м. Как приблизиться к Станции.
Решение:
надо перейти на орбиту с меньшим на
ΔT = T0 – T = L/v0 периодом:
T/T0 = (a/a0)3/2 = (Eo/E)3/2 = (Eo/(E0 + ΔK))3/2 ≈ 1 + 3Δv/v0 ⇨
ΔT = 3T0Δv/v0 ⇨ Δv = L/3T0 = 2 см/с

Полёт на Марс (№ 7.6)
Рассчитайте время перелёта с орбиты Земли на орбиту Марса (rм = 1,52 rз):
Решение:
(Кеплер III):
(T/T0)2 = (2a2/2a1)3 = {(rз + rм)/2rз}3 ⇨
τ = ½T0(1,26)3/2 = 260 сут ≈ 8 мес. 3 недели

Метеорит. Прицельное расстояние
Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли V0.
Найти наибольшее «прицельное» расстояние b = ?
Решение:
ЗСМИ для касательной траектории:
mv0b = mvR
ЗСЭ:
mv02/2 = mv2/2 – mgR ⇨
b = R(1 + vII2/v02)1/2 .
Если r < b – метеорит упадёт на Землю.
Если r > b – промажет.
Предельные случаи:
v0 = 0; b = ∞ - метеорит упадёт при любых обстоятельствах.
V0 = ∞; b = R – Земля не сильно искривит траекторию.