Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы исчисления.
Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
10 (десячичная): 0,1,2,3,4,5....9
2 (двочная): 0,1
6 (шеснадцатиричная): 0...9, A, B, C, D, E, F

основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда.
Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10.
Например, в записи числа 343.32 цифра 3 повторена три раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 102); цифра 3. стоящая перед точкой, означает количество единиц (ее вес равен 100 ), а самая правая цифра 3 — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10-1), так что последовательность цифр 343.32 представляет собой сокращенную запись выражения :
3x102 + 4x101+3x100 + 3x10-1 + 2x10-2.
Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр:
аnаn-1..а1aоа-1...ат...
основана на представлении этого числа в виде полинома:
Х = аn10n + аn-110n-1+... +a1 101+a0100+a-110-1+...+a-m10-m...,
Десятичная позиционная система счисления

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной.
Например, основанием десятичной системы счисления является число 10;
двоичной — число 2;
троичной — число 3 и т.д.
Для записи произвольного числа в K-ичной системе счисления достаточно иметь К разных цифр аi i=1,...K.
Например, в троичной системе счисления любое число может быть выражено посредством цифр 0, 1,2. Эти цифры служат для обозначения некоторых различных целых чисел, называемых базисными.

Исходное число в 10 С/С подвергается
делению на основание той С/С, в какую осуществляется перевод.
Правило переревода из 10-й в 2-ю систему счисления

Исходное число раскрывается как
сумма n соответсвующих цифр
исходного числа на основание
исходной С/С в нужной степени.
Правило переревода из 2-й, 16-й в 10-ю систему счисления

1111011 = 1*2 +1*2 +1*2 +1*2 +0*2 +1*2 +1*2
= 123
2
10
5
6
4
3
2
1
0
7В = 7*16 +7*16 =112+11=123
16
1
0
10

При переводе 2 в 16 исходное
число делится на группу по 4 цифры в каждой, и к каждой
группе в соответствие
ставится символ 16 системы.
Правило переревода из 2-й в 16-ю и из 16-й в 2-ю систему счисления

10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F

7B =01111011
0001 1011 1011 = 1BB
1
B
B
16
2
2
16