Ученый и наука

Введение
Вопросы преподавания важны прежде всего сами по себе, а затем и по другим причинам: размышлять о том, каким образом лучше всего внедрить новые понятия в девственный ум ребенка,- значит в то же время размышлять о том, каким образом эти понятия были приобретены нашими предками; значит, следовательно, размышлять об их истинном происхождении, а это, по существу, значит размышлять об их истинной природе.

Ученый и наука
Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.
Ученому, историку и даже физику приходится делать выбор между фактами.
От внушений, являющихся продуктами бессознательной работы, можно ожидать только исходных точек для подобных вычислений; самые же вычисления приходится выполнять во время второго периода сознательной работы, который следует за внушением и в течение которого проверяются результаты этого внушения и делаются из них выводы.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ
Каждая часть формулированного определения имеет цель установить отличие определяемого объекта от класса других близких предметов.
Определение будет понято лишь тогда, когда вы покажете не только определяемый предмет, но и те соседние предметы, от которых его надобно отличать.

Логика Рассела
Рассел прежде всего подчиняет логику классов логике предложений.
Логика предложений Рассела это этюд о законах, по которым комбинируются союзы «если», «и», «или» и отрицание «не».
Рассел приходит к выводу, что какое-нибудь ложное предложение заключает в себе и все прочие истинные или ложные предложения.

Логика Гильберта
«Мы находимся как бы в заколдованном круге, и вот почему, во избежание всякого парадокса, мне кажется необходимым развивать одновременно логику и принципы арифметики» - говорил Гильберт.
Гильберт говорит о принципах логики в той форме, в какой их себе обыкновенно представляют, одинаково приложимо и к логике Рассела. Для Рассела логика предшествует арифметике; для Гильберта они «одновременны».
Он исходит из общей идеи существующего и обогащает ее, придавая ей новые качества.

ПОСЛЕДНИЕ УСИЛИЯ ЛОГИСТИКОВ
Для Кутюра не отсутствие противоречия доказывает бытие, а бытие доказывает отсутствие противоречия.
Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше доказано, что оно непротиворечиво.
Рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но оно предполагает, что этот принцип нам дан не как простое определение, а как априорное синтетическое суждение.