Задача про дружбу. Анализ вариантов

1. Дружба
Каждый мальчик дружит с пятью девочками, а каждая девочка – с разным количеством мальчиков.
Какое наименьшее количество детей может быть в этой компании?

1. Дружба
Каждый мальчик дружит с пятью девочками, а каждая девочка – с разным количеством мальчиков.
Какое наименьшее количество детей может быть в этой компании? 10 – неверный ответ!
Если в компании 5 мальчиков и 5 девочек, и каждый мальчик дружит с пятью девочками, то и каждая девочка будет дружить с пятью мальчиками!

Каждый мальчик дружит с одним и тем же количеством девочек.
Каждая девочка дружит с разным количеством мальчиков.

Каждый мальчик дружит с одним и тем же количеством девочек.
Каждая девочка дружит с разным количеством мальчиков.
Пусть в группе m мальчиков.
Первая девочка дружит с одним мальчиком
Вторая девочка дружит с двумя мальчиками
Третья девочка дружит с тремя мальчиками
-----------------------------------------------
Девочка № m дружит с m мальчиками
Тогда общее количество «дружб» = 1+2+3+4+…+m

Общее количество «дружб» = 1+2+3+4+…+m
S + S = m × (m +1 ); S = m × (m+1)/2

Каждый мальчик дружит с одним и тем же количеством девочек.
Каждая девочка дружит с разным количеством мальчиков.
Общее число «дружб» = 1+2+3+4+…+m = m × (m+1)/2
С другой стороны, это число равно m × q, где m – число мальчиков, а q – количество девочек, с которым дружит каждый мальчик.
Получаем равенство m × (m+1)/2 = m × q или q = (m+1)/2

Каждый мальчик дружит с одним и тем же количеством девочек.
Каждая девочка дружит с разным количеством мальчиков.
Если в группе из m мальчиков и m девочек выполняются условия задачи, то каждый мальчик дружит с (m+1)/2 девочками.
Выражение (m+1)/2 будет натуральным числом, если m – нечётное число. Например, m = 3; 5; 7; 9; …

Каждый мальчик дружит с одним и тем же количеством девочек.
Каждая девочка дружит с разным количеством мальчиков.
Если в группе из m мальчиков и m девочек выполняются условия задачи, то каждый мальчик дружит с (m+1)/2 девочками.
Если каждый мальчик дружит ровно с пятью девочками, то можно узнать количество мальчиков (и девочек) в группе, решив уравнение: (m+1)/2 = 5.
Это возможно, если m = 9. То есть в группе 9 мальчиков и 9 девочек.

Каждый мальчик дружит с одним и тем же количеством девочек.
Каждая девочка дружит с разным количеством мальчиков.
Если каждый мальчик дружит ровно с пятью девочками, то можно узнать количество мальчиков (и девочек) в группе, решив уравнение: (m+1)/2 = 5.
Это возможно, если m = 9. То есть в группе 9 мальчиков и 9 девочек.
Замечание. Теоретически девочек может быть 10. Десятая девочка не дружит ни с одним мальчиком . Однако, в задаче спрашивается про минимальное количество детей, поэтому остановимся на варианте 18 детей.

1
2
3
q = (m+1)/2 m = 3; q = 2

1
2
3
4
5
q = (m+1)/2 m = 5; q = 3

1
2
3
4
5
6
7
q = (m+1)/2 m = 7; q = 4