Тема: Применение свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников к решению практических задач. (Урок геометрии – 7 клас

«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает».
П.А. Чебышев

Найдите пары равных треугольников и объясните их равенство.
В А А
D E
C
А D C C D B C M B
AD = DC < C =
< ВDC – прямой < ADB = < ADС < АМВ - прямой
< CDM - прямой < ВЕM – прямой
CD = BE

Найдите пары равных треугольников и объясните их равенство.
В А А
Е D
А D С С D В В М С
АD = СD < C =
< ВDC – прямой < ADB =
< CDM- прямой < BЕM - прямой
CD = BE
Решение: Решение: Решение:
Треугольники АВD и СВD равны по двум катетам Треугольники АDС и АDВ(по катету и острому углу) 1. Треугольники СMD и ВME равны по катету
BD общая сторона < C =
АD = СD по условию АD общая сторона 2. Треугольники АDM и АEM равны по гипотенузе
Треугольник ВАС равнобедренный АМ высота, биссектриса
< DАМ = < ЕАМ

Найти длину отрезка АМ.
A A
A
60°
8
45°
M B M 4 B B M C
BC = 10

РЕШЕНИЕ
A
8

Найти угол α
А С
α
8
α
С 4 В В А

α
РЕШЕНИЕ
А С
α
8
α
С 4 В В А
СВ равен половине АВ Треугольник АВС равнобедренный
α = 300 СВ = АВ
<А = <С; <А + <С = 90°
α = 450

II. Самостоятельная работа (работа в группах).
За решение каждой задачи пять баллов
Карточки с заданиями лежат на партах
1. Доказать, что точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
2. Доказать, что каждая точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №1.
А
М D
В О С
треугольники АMO и ADO прямоугольные(< ОМА и < ОDА прямые),
они равны по гипотенузе и острому углу, так как < МАО = < DАO (AO- биссектриса угла ВАС)
АО общая сторона
Из равенства треугольников следует равенство отрезков МО и ОD

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №2
А
D M
O
треугольники АDO и AMO прямоугольные(< ОDА и < ОMА прямые)
они равны по гипотенузе и катету, так как DО = ОM по условию
АО общая сторона
Из равенства треугольников следует равенство углов DАО и ОАM.
Значит АО - биссектриса

III. Решение практических задач. (Задания написаны на карточках)
1. Населённые пункты A, B, C, D расположены так, что пункт А находится в нескольких километрах к югу от D, а пункты В и С – на одинаковых расстояниях к западу и востоку (соответственно) от А. Верно ли, что В и С находятся на одинаковом расстоянии от D?

Решение задачи №1:
Треугольники DAB и DAC равны по двум катетам, значит, BD = CD.
D
В А С
ОТВЕТ: верно

2. Жители трёх домов (A, B. C) , расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника хотят выкопать общий колодец с таким расчётом, чтобы он был одинаково удалён от всех домов. В каком месте надо копать?

Решение задачи №2
Копать надо в точке О.
В
А O C

Задачи Фалеса:
а) Египтяне задали Фалесу трудную задачу: найти высоту одной из громадных пирамид. Фалес нашёл для этой задачи простое и красивое решение. Он воткнул в землю вертикально длинную палку и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
A
A,
C C, B
Треугольник АСВ – равнобедренный
АС = СВ
Треугольник А1С1В – равнобедренный
А1С1 = С1В.

б) Ещё одно из свойств прямоугольного треугольника, доказанное Фалесом. Нарисуем прямоугольный треугольник АВС и разделим его гипотенузу АС точкой О пополам. Как вы думаете, какой отрезок длиннее: АО или ОВ? То есть куда ближе идти из середины гипотенузы – к острому углу или к прямому?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
А D
o
C B
Достроим треугольник АСВ до прямоугольника ADBC. AB = DC и точка О – середина каждого из них.
Следовательно, АО = ОВ = ОС.

IV. Компьютерная презентация.
Биография Фалеса
Существовало предание, что Фалес был финикийцем, ставший гражданином Милета.
Фалес Милетский жил в самом конце VII - первой половине VI в. до н. э. (с. 625 – 548 до н. э.). Фалес Милетский был уроженцем греческого торгового города Милета, расположенного в Малой Азии на берегу Эгейского моря.
В VI веке до н. э. Милет находился в расцвете славы. Это был многолюдный и шумный город купцов, торговцев, ремесленников, мореплавателей. Жемчужиной Эллады называли его и греки, и чужестранцы. Как рассказывают древние историки, в четырёх гаванях города встречались корабли, прибывшие из Сирии, Финикии, Египта, Крита. Главная гавань называлась Львиной. Узкий вход в неё охраняли два огромных мраморных льва. На широкой набережной толпились носильщики, матросы, менялы, проводники. Вся эта шумная толпа набрасывалась на чужеземцев, прибывших в Милет, предлагая услуги. От огромных ворот порта с шестнадцатью мраморными кодонами вела в город широкая главная улица. Милет – родина Фалеса.
Неподалёку от ворот стоял величественный храм Аполлона с мраморными жертвенниками и статуями. Но купцов, прибывших из разных стран в Милет, привлекали не только красоты города. Тончайшая шерсть из милетских овец славилась всюду. Садоводы Милета выводили прекрасные сорта роз. Из лепестков роз изготовляли драгоценное розовое масло. Окрестности города утопали в густых оливковых садах. В далёкие путешествия отправлялись милетские торговцы-моряки. Эти путешествия были опасны. Порой приходилось бороться с разбушевавшейся стихией, обороняться от пиратов, а при высадке на сушу отражать нападения туземцев. Но не только мужества требовала жизнь от тогдашних мореплавателей. Она требовала ещё и умения ответить на многие вопросы. Как ориентироваться в море? Как определить расстояние от берега до корабля? Тесная зависимость жизненного успеха людей от решения теоретических вопросов привела к тому, что город Милет стал колыбелью античной науки, а учёный Фалес – её родоначальником.
«Ищи что-нибудь одно мудрое, выбирай что-нибудь одно доброе, так ты уймёшь пустословие болтливых людей».
Фалес был купцом. Он хорошо зарабатывал, умело торгуя оливковым маслом. Много путешествовал: посетил Египет, Среднюю Азию, халдею. Всюду изучал опыт, накопленный жрецами, ремесленниками и мореходами: познакомился с египетской и вавилонской школами математики и астрономии. Возвратившись на родину, Фалес отошел то торговли и посвятил свою жизнь занятиями наукой, окружив себя учениками, - так образовывалась милетская ионийская школа, из которой вышли многие знаменитые греческие учёные. Фалес дожил до глубокой старости.

Вклад в науку
Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции, -- он был тем же для Греции, чем Ломоносов для России.
Карьеру он начал как купец и еще в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привез он. Во всяком случае, одному у него могут поучиться все философы – краткости. Полное собрание его сочинений, по преданию, составляло всего 200 стихов. Трудно сейчас сказать, что в научном перечне принадлежит действительно Фалесу и что приписано ему потомками, восхищающимися его гением. Несомненно, в лице Фалеса Греция впервые обрела одновременно философа математика и естествоиспытателя. Не случайно древние причислили его к «великолепной семёрке» мудрецов древности.

Фалес – математик
Условно ему приписывают открытие доказательств ряда теорем:
- о делении круга диаметром пополам;
- о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника;
- о равенстве вертикальных углов;
- один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другое.
Задачи Фалеса
Фалес открыл любопытный способ определения расстояния от берега до видимого корабля. Доказательством признаков равенства треугольников занимались ещё пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство теоремы о «равенстве» двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников). Одни источники утверждают, что для этого им был использован признак подобия треугольников. Потомки Фалеса обязаны ему тем, что он, пожалуй впервые ввел в науку, и в частности – в математику, доказательство. Известно сейчас, что многие математические правила были открыты много раньше, чем в Греции. Но все – опытным путём. Строго логическое доказательство правильности каких-либо предложений на основании общих приложений, принятых за достоверные истины, было изобретено греками. Характерная и совершенно новая черта греческой математики заключается в постепенном переходе при помощи доказательства от одного предложения к другому. Именно такой характер математике придал Фалес. И даже сегодня, через 25 веков, приступая к доказательству, например, теоремы о свойствах ромба, вы, в сущности, рассуждаете почти так, как это делали ученики Фалеса.

Домашнее задание: придумать и решить практическую задачу, в которой были бы использованы свойства или признаки равенства прямоугольных треугольников