Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнения плоскости.
1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Заданы: точка
и нормальный вектор
Уравнение плоскости:
0
х
y
z
Q
n
Плоскость Q определена единственным образом,
если задана одна точка и вектор Q.
Вектор Q называют нормальным вектором.
Необходимое и достаточное условие того,
что точка М принадлежит плоскости Q.
Пусть точка
Тогда

Аналитическая геометрия в пространстве.
2. Общее уравнение плоскости.
Уравнение вида
называется общим уравнением плоскости.
Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют координаты нормального вектора:
Теорема.
Всякое уравнение первой степени
с тремя переменными x,y,z вида
(1)
задает плоскость в пространстве
и наоборот, всякая плоскость
в пространстве может быть задана
уравнением с тремя переменными x,y,z
вида (1).
Q
Q

Аналитическая геометрия в пространстве.
3. Исследование общего уравнения плоскости.
1. Коэффициент D=0 (рис. 1)
2. Коэффициент A=0 (рис. 2)
3. Коэффициент B=0 (рис. 3)
4. Коэффициент C=0 (рис. 4)
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис.4
Q
Q
Q
Q

Аналитическая геометрия в пространстве.
5. Коэффициенты A=B=0 (рис. 5)
6. Коэффициенты A=C=0 (рис. 6)
7. Коэффициенты B=C=0 (рис. 7)
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
Q
Q
Q
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7

Аналитическая геометрия в пространстве.
8. Коэффициенты A=B=D=0
9. Коэффициенты A=C=D=0
10. Коэффициенты B=C=D=0
x
y
z
0
Координатные
плоскости

Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнения прямой в пространстве.
1. Общее уравнение прямой.
Аксиома: линия пересечения двух плоскостей – прямая.
l
l :
(2)
Теорема.
Система уравнений (2) определяет
прямую в пространстве тогда и только
тогда, когда коэффициенты
не пропорциональны коэффициентам
Система уравнений (2) называется общим уравнением прямой.

Аналитическая геометрия в пространстве.
2. Канонические уравнения прямой.
3. Параметрические уравнения прямой.
l
l :
Пусть точка
Тогда

Аналитическая геометрия в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве.
1. Условие параллельности плоскостей.
2. Условие перпендикулярности плоскостей.

Аналитическая геометрия в пространстве.
3. Условие параллельности прямых.
4. Условие перпендикулярности прямых.