Асимптоты и непрерывность в точке

Асимптоты функции
Определение:
Асимптотой функции называется прямая линия, к которой приближается значение функции по мере удаления от начала координат.
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

Асимптоты функции
Вертикальная асимптота:
или
Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (x), если хотя бы один из пределов
равен бесконечности.
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Пример:
Основы математического анализа

Пример 1:
Решение:
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Найти вертикальные асимптоты функции
Ответ:
Асимптоты функции
Основы математического анализа

Наклонная асимптота:
или
графика функции f (x), если при
Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой
выполняется равенство
или
причём
соответственно.
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции

Наклонная:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции

Наклонные:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции

Горизонтальная:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции

Теорема:
Для того чтобы прямая y = k x + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (x), необходимо и достаточно существование следующих пределов:
Асимптоты функции
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

Пример 2:
Решение:
Найти наклонные асимптоты функции
Ответ:
Асимптоты функции
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 7
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

Непрерывность функции в точке
Определение 1:
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и её предел в ней равен значению функции в этой точке:
Запись через односторонние пределы:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

Непрерывность функции в точке
Определение 2:
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой её окрестности и
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР

Непрерывность функции в точке
Определение 3:
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если её приращение в этой точке есть бесконечно малая функция при
– приращение аргумента
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Обозначения:
– приращение функции

Графическая интерпретация:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке

Пример 3:
Решение:
Установить непрерывность или разрывность функции
Ответ:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке

1. Устранимый разрыв
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Классификация точек разрыва

2. Разрыв 1-го рода
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Классификация точек разрыва

3. Разрыв 2-го рода
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Классификация точек разрыва

Пример 4:
Решение:
Найти точки разрыва функции и установить их характер
Ответ:
Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке