ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС

Детерминированность
Во всех случаях, когда говорят о детерминированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия. В применении к эволюционным законам, описывающим эволюцию процесса или объекта во времени, это означает, что если задано некоторое начальное состояние системы при t = t0 , то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени t > t0 .
В общем случае зависимость будущего состояния системы x(t) от начального x(t0) можно записать в виде: x(t) = F[x(t0)], где F – детерминированный закон (или оператор), который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния x(t0) в будущее состояние x(t) для любого t > t0. Этот закон может представлять собой функцию, дифференциальное или интегральное уравнение, просто некоторое правило, заданное таблицей или графиком, и т.д. Важно главное: закон F однозначно трансформирует начальное состояние (причину) в будущее состояние (следствие).

Хаос
Проведем мысленный эксперимент с броуновский частицей. Поместим частицу в начальный момент времени t = t0 в раствор жидкости и с помощью микроскопа начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы Δt.
Мы увидим, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможного воспроизводство начальных условий опыта. Каковы будут результаты?
1. Траектории движения частицы будут сложными, непериодическими. 2. Любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными условиями мы будем получать различные траектории движения частицы, которые даже близко не напоминают друг друга!

Классическое явление движения броуновской частицы дает нам четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе.
Таким образом, если мы говорим о хаосе, мы подразумеваем, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и невоспроизводимым (процесс нельзя повторить).
Детерминизм ассоциируется с полной однозначной предсказуемостью и воспроизводимостью.
Что понимается под термином детерминированный хаос, где объединены два противоположных по смыслу понятия?

Устойчивость и неустойчивость
Режим функционирования динамической системы называется устойчивым, если малые возмущения в окрестности этого режима затухают во времени, стремясь к нулю. Если этого не происходит и малые отклонения от режима функционирования системы нарастают во времени, такой режим будет неустойчивым.
Нелинейность
Пусть мы имеем дело с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни – никогда. Отклонение будет нарастать до тех пор, пока не вступит в действие некий механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения. Что это такое?
С физической точки зрения нарастание амплитуды не может происходить до бесконечности. На первом этапе, когда отклонение от исходного состояния мало, оно может нарастать. Дальше в силу ограниченности энергетических ресурсов системы это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду, и управляют этими процессами нелинейные законы. Мы говорим о нелинейности тогда, когда свойства системы непосредственно зависят от ее состояния.

Рассмотрим пример. Пусть зависимость амплитуды отклонения f от исходного состояния x определяется следующим соотношением:
где k и b – постоянные положительные коэффициенты. Если x << 1, то bx3 << kx и
В данном случае f(x) линейно растет с ростом x. Если же x становится сравнимым с единицей, то членом bx3 пренебрегать уже нельзя. В случае (1) рост отклонения f(x) за счет члена kx начнет испытывать нелинейное ограничение в силу вычитания величины bx3. При некоторых значениях x величина отклонения (1) вновь будет близка к нулю и все начнется сначала: отклонение начнет нарастать, достигнет максимума и затем, испытывая ограничение, опять уменьшится. Система будет как бы автоматически себя регулировать, так как ее свойства зависят от ее текущего состояния.
(1)
(2)

Детерминированный хаос
Пусть у нас есть некоторая динамическая система, описываемая системой 3-х дифференциальных уравнений. Исходное состояние – неустойчивое состояние равновесия в нуле координат. Зададим некоторое малое отклонение от состояния равновесия, проинтегрируем систему и представим ее решение в виде фазовой траектории в трехмерном пространстве. В силу неустойчивости начальное возмущение будет нарастать. Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь от точки 0 по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния.
Далее, ввиду неустойчивости, процесс будет повторяться. В принципе возможны 2 варианта: 1) траектория, спустя конечное время, замкнется, демонстрируя наличие некоторого сложного, но периодического процесса; 2) траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, если при t → ∞ замыкания не произойдет.
Второй случай и отвечает режиму детерминированного хаоса!

Действительно, работает основной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако процесс эволюции системы во времени является сложным, непериодическим. Чисто внешне он ничем не отличается от случайного, но при более детальном анализе вскрывается одно существенное отличие этого процесса от случайного: этот процесс воспроизводим!
Действительно, повторив еще раз начальное состояние, в силу детерминированности компьютер вновь воспроизведет ту же самую траекторию независимо от степени ее сложности. Значит, этот непериодический процесс не является хаотическим по определению хаоса, данного выше? Да, это сложный, похожий на случайный, но тем не менее детерминированный процесс. Важно здесь то, что он характеризуется неустойчивостью, и это обстоятельство позволяет нам понять еще одно принципиальное важное свойство систем с детерминированным хаосом – перемешивание.
Важное замечание. Фазовая траектория в режиме детерминированного хаоса никогда не покидает некоторой замкнутой области и не притягивается к другим устойчивым объектам (аттракторам). Такие траектории в математике называют устойчивыми по Пуассону, имея в виду факт возвращаемости траектории со временем в малую окрестность начальной точки. Но в общем понимании, данный тип движения всегда неустойчив.

Перемешивание
Рассмотрим устойчивый режим движения в детерминированных диссипативных динамических систем.
Пусть мы имеем в качестве начального состояния не точку с определенными координатами в пространстве состояний x0, а малую сферу радиуса ε > 0, окружающую эту точку. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение от x0. Сфера
включает совокупность возможных отклонений от исходного состояния, не превышающих по модулю ε. Теперь применим оператор эволюции и проследим за трансформацией этой сферы. В силу устойчивости выбранного нами режима любое малое отклонение во времени должно затухать! Это означает, что под действием детерминированного закона эволюции шарик радиуса ε во времени будет сжиматься и при t → ∞ его радиус уменьшится до нуля!
Исходный фазовый объем в диссипативных системах во времени уменьшается. Это означает, что малые возмущения в итоге будут затухать и система вновь вернется в исходный режим, который является устойчивым.

Пусть исходный режим неустойчив. Это ведет к росту возмущений. Кроме того, диссипативные системы вне зависимости от вида устойчивости вызывают уменьшение элемента фазового объема во времени до нуля, что связано с потерями энергии. Как совместить эти два фактора? Существует единственное решение: элемент фазового объема по некоторым направлениям должен растягиваться, а по другим сжиматься. Причем, степень сжатия должна обязательно превалировать над степенью расширения, чтобы в итоге
фазовый объем во времени уменьшался! В нелинейных диссипативных системах это оказывается возможным. Данный механизм показан на рисунке. В силу наличия механизма нелинейного ограничения фазовая траектория сложного режима колебаний сосредоточена в ограниченной области фазового пространства. При этом любая малая окрестность исходного начального состояния эволюционирует во времени и в итоге перемешивается по всей области, занятой траекторией.

Проведем эксперимент. В стакан с водой помести очень маленькую капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой. Что при этом произойдет? Чернила практически равномерно разбегутся по всему объему воды, слегка окрасив ее. Частички чернил, первоначально сосредоточенные в маленьком объеме капельки, спустя время перемешивания можно будет обнаружить в любой части объема воды в стакане. Этот процесс и называется перемешиванием. Поток воды в стакане, созданный движением чайной ложки, можно интерпретировать как действие детерминированного эволюционного оператора динамической системы. Чаинка при этом будет двигаться по сложной, но детерминированной траектории. А капелька чернил, которую можно рассматривать как некий маленький объем в фазовом пространстве вокруг чаинки, под действием оператора эволюции перемешается по всему объему воды.

Вероятностные свойства детерминированных систем
В неустойчивых режимах в детерминированных нелинейных системах с перемешиванием мы можем предсказать будущее состояние однозначно только в случае строгого задания начальных условий. Однако, если учесть сколь угодно малую, но конечную ошибку, то детерминированное предсказание становится невозможным. Малая область первоначальной неопределенности размывается за счет перемешивания на конечную область фазового пространства. Теперь мы имеем дело с процессом, который ассоциируется с настоящей случайностью, с настоящим хаосом!
Основным свойством динамических систем, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, является чувствительная зависимость режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий. Именно это обстоятельство ведет к необходимости вводить вероятностные характеристики для описания динамики таких систем. В этом смысле становится понятным термин «детерминированный хаос», который характеризует наличие случайного, непредсказуемого поведения системы, которое управляется детерминированными законами.
Неопределенность в задании начального состояния – ситуация вполне реальная с точки зрения физики. Действительно, в силу конечной точности регистрации состояния любыми приборами, оно определяется с конечной (пусть сколь-угодно малой) ошибкой. Поэтому мы должны анализировать эволюцию во времени не начальной точки, а начальной области вокруг этой точки.

Странные аттракторы
Математическим образом режима функционирования диссипативной динамической системы служит аттрактор – предельное множество траекторий в фазовом пространстве системы, к которому стремятся все траектории из некоторой окрестности этого множества.
Регулярные аттракторы – неподвижная точка (устойчивое состояние равновесия), предельный цикл (устойчивое периодическое движение), тор (квазипериодические колебания).
Странный хаотический аттрактор – математический образ режима детерминированного хаоса. Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима первоначально нарастают). Странные аттракторы – сложно устроенные множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения (фракталы).
Основным критерием странности аттрактора является неустойчивость траектории. Причем неустойчивость обязана быть экспоненциальной! Это означает, что малое возмущение режима D(0) должно во времени увеличиваться по экспоненте:
λ - показатель Ляпунова.

Оказалось, что положительность величины λ говорит не только об экспоненциальной неустойчивости режима колебаний, но доказывает наличие в системе перемешивания. Если установлено, что исследуемый режим имеет положительный показатель Ляпунова λ > 0, то следствием будут: непериодичность в зависимости от времени любой из координат состояния, сплошной спектр мощности (в спектре колебаний присутствуют все частоты из некоторого интервала) и спадающая во времени автокорреляционная функция. До недавнего времени с таким поведением указанных характеристик однозначно связывали представления о случайном процессе. Теперь оказалось, что подобными свойствами может обладать процесс, порождаемый детерминированными законами. Это обстоятельство и послужило основанием называть такие процессы детерминированным хаосом.

История развития
1. Механика.
Результатами исследований И. Ньютона, Ж.Л. Лагранжа, П.С. Лапласа, У. Гамильтона стало формирование представления о том, что мы сейчас называем гамильтоновой или консервативной ДС.
Проблема трех тел в небесной механике – первая задача, анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. В результате развития теории возмущений было обнаружено, что системы, относящиеся к классу гамильтоновых неинтегрируемых систем, могут демонстрировать хаос. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики стала работа французских астрофизиков (M. Henon and C. Heiles, 1964), рассмотревших модель движения звезды через галактический диск.

2. Статистическая физика.
Вторая линия развития связана с формированием так называемой эргодической теории.

3. Теория колебаний, радиофизика и электроника.
До сих пор мы вели речь о гамильтоновых системах. Однако на уровне окружающих нас макроскопических явлений чаще всего приходится встречаться с диссипативными динамическими системами. Необходимость изучения таких систем становилась насущной по мере развития таких дисциплин, как радиофизика и гидродинамика.

В формировании, распространении и популяризации в нашей стране представлений о хаотической динамике большую роль сыграли такие представители нижегородской научной школы, как А.В. Гапонов-Грехов, Ю.И. Неймарк, М.И. Рабинович, Л.П. Шильников и др.
В 60-70-х годах в Институте радиотехнике и электронике АН СССР под руководством В.Я. Кислова проводились исследования, направленные на создание эффективных генераторов шума. Предложенная схема состояла из двух ламп бегущей волны (ЛБВ). Одна ЛБВ, более мощная, функционировала как усилитель, вторая использовалась как нелинейный элемент, обеспечивающий запаздывающую обратную связь путем подачи преобразованного сигнала с выхода усилителя на его вход. Исследователи целенаправленно получили хаотические автоколебания и правильно интерпретировали их как динамический режим в системе с запаздывающей обратной связью.
Один из самых первых (а может быть и первый) радиотехнических автогенераторов, допускающий описание простой системой дифф. уравнений, в котором был реализован режим хаотических автоколебаний, был предложен на нашей кафедре, в группе проф. В.С. Анищенко – модифицированный генератор с инерционной нелинейностью или генератор Анищенко-Астахова.

4. Гидродинамика.
Четвертая линия развития связана с гидродинамикой и проблемой турбулентности.

5. Дискретные отображения.

6. Математика.
Неоценимую роль для науки о динамическом хаосе сыграли исследования ряда математиков и разработанные ими теории.

7. Прикладной хаос.
Вопрос: для чего нужен хаос?