Дроби и проценты

«Математика – королева и служанка всех наук»
К.Ф.Гаусс
«Жизнь украшается двумя вещами – занятием математикой и её преподаванием»
С. Пуассон

Содержание
1.Основные задачи на дроби и проценты
2.Типовые задачи на дроби и проценты
3.Разные задачи на дроби и проценты

Нужны ли проценты в жизни?
Задания, связанные с изучением дробей и процентов, позволяют сделать школьный курс математики практико-ориентированным, учат учащихся применять приобретённые знания в повседневной жизни. Некоторые из таких заданий приближены к современной тематике и к жизненному опыту учащихся и служат сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Формирование навыков в решении задач на проценты
При встрече с задачей на дроби и проценты учащийся знакомится с разными способами её решения, осваивают новую стратегию. Задачи на «концентрацию, «банковские расчёты»и прочее – это хорошие примеры практических задач, которые нередко включаются в итоговую проверку математической подготовки учащихся за основную школу.

Уменьшение, увеличение на несколько процентов
Цена упаковки составляет 6% цены игрушки. Какова стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки 650 руб.?
Комментарий к решению
Сначала найдем цену упаковки
650:100*6=39(руб), значит, стоимость товара с упаковкой: 650+39=689 (руб)
Второй способ: Стоимость игрушки с упаковкой
100%+6%=106%, что соответствует дроби1,06
Найдём стоимость товара с упаковкой
350*1,06= 389 (руб).

Задачи для самостоятельного решения
Оптовая цена товара на складе 5500р.
Торговая надбавка в магазине составляет 30% от цены товара. Сколько стоит этот товар в магазине?
Ответ: 7150 р.
2. Нужно приготовить 800 г салата, 30% которого составляют помидоры, 45% - огурцы, 10% - лук, а остальное – перец.
Сколько граммов перца нужно взять для такого салата?
Ответ: 120 г

2.Типовые задачи на дроби и проценты
1.В июле в типографии было отпечатано 1500 экземпляров журнала, в августе на 30% больше, чем в июле, а в сентябре на 20 % меньше, чем в августе. Сколько экземпляров журнала напечатали в сентябре?
Ответ: 1560 экз.
2. Из 800 страниц книги занято текстом – 62,5%, на 30% остальных страниц размешены фотографии, а на оставшихся страницах – рисунки. Сколько страниц этой книги занято рисунками?
Ответ: 210 страниц

Нахождение целого по его процентам
1. Летом на дачу с детским садом выехали 180 детей. Известно, что 10% детей не поехали на дачу. Сколько всего детей в детском саду?
Комментарий к решению
100% - 10% =90% (детей поехали на дачу)
Найдём целое по его части
180 : 0,9 = 200 (детей)
Ответ: 200 детей
2. Решите задачу самостоятельно:
Когда 130 пассажиров заняли свои места в самолёте, остались свободными – 35% всех мест. Сколько пассажиров вмещает самолёт?
Ответ: 200 пассажиров

3.Разные задачи на дроби и проценты
Банковские операции: За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счёт в банк 5000 руб. и решил в течение 5 лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Подсчитайте, сколько денег будет на счёте вкладчика через год, через два года, через пять лет.
Комментарий к решению
Т.К.8% от 5000 руб. составляет 400 руб., то через 1 год на счёте окажется 5000 + 400= 5400 руб.
В конце второго года банк будет начислять 8% от суммы 5400 руб, что составляет 432 руб. Через два года на вкладе будет 5400+ 432= 5832 руб. В конце третьего года сумма будет 5832+466,56 = 6298,56 руб.
В конце четвертого 6298,56 + 503,88 руб.=6802,44
В конце пятого года 6802,44+544,20=7346.64 руб.

Многократное изменение цены
С 1 по 10 октября магазин проведёт распродажу садового инвентаря: цены будут ежедневно снимать на 10%. В витрине магазина выставлена газонокосилка, которая продавалась по цене 1200 р.
Исходя из условий распродажи, ответьте на вопросы:
Сколько руб. будет стоить газонокосилка на 2-ой день распродажи?
Андрей хочет купить газонокосилку за 700 руб. На какой день распродажи он может рассчитывать?
На какой день распродажи цена на газонокосилку будет снижена более, чем на 50 %?
В начале или в конце распродажи цена товара падает быстрее?
Комментарий к решению
Новая цена после снижения будет составлять 90% ( иначе 0,9) от цены предыдущего дня. Математическая модель расчета стоимости товара при ежедневном снижении на 10%.
С = С0 * 0,9n , где С0 – цена предыдущего дня , n – день распродажи

Решение
На 2-ой день распродажи газонокосилка будет стоить 972 р. т.е станет дешевле на 230 р.
Андрей может приходить в магазин на 5-ый день, когда цена интересующего его товара станет равной 708 р.
Цена газонокосилки снизится более, чем на 50% (уменьшится в 2 раза), начиная с 7 дня распродажи.
В начале или в конце распродажи цена падает быстрее, можно, опираясь на здравый смысл. Так как ежедневно берётся процент от цены, меньшей, чем в предыдущий день, то в начале распродажи цена падает быстрее

Доход по вкладу
Петр открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 8%.Если бы он добавил 2000 р., то через год получил бы доход960 р.Какая сумма была внесена им в банк?
Комментарий к решению
Пусть x р. – сумма, которую Петр внес в банк. Тогда (x+2000) р было бы на вкладе, если бы он добавил 2000 р.
0,08 (x+2000) = 960
0,08 x + 160 = 960
0.08x = 800
Решив уравнение, получим x=10000 (р)
Ответ: 10000 рублей внесено в банк