Эконометрика

Литература:
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М: «ЮНИТИ-ДАНА», 2008.-311 с.
2. Практикум по эконометрике / Под ред. И.И.Елисеевой. – М: «Финансы и статистика», 2006-192 с.
3. Магнус Я.Р.,Катышев П.К.,Пересецкий А.А.Эконометрика.Начальный курс.–М:«Дело»,2007.-504 с.
4. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики.–М:ЮНИТИ, 1998.-1022 с.
5. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М: «Инфра-М», 1997.
6. Джонстон Дж. Эконометрические методы – М: «Статистика», 1980.
7. Тинтер Г. Введение в эконометрию. – М: «Статистика», 1965.
Журналы: Journal of Econometrics (Швеция), Econometric Reviews, Econometrica (США).

Введение
(место дисциплины «эконометрика» в образовании,
историческое обоснование её актуальности и общая характеристика содержания)

1. Каковы традиции применения содержания дисциплины «эконометрика» в рамках российского экономического высшего образования?
«Эконометрика» как дисциплина федерального компонента по циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин 10 лет назад вошла в основную образовательную программу подготовки экономистов, определяемую Государственным стандартом высшего образования. Модели и методы, относимые в настоящее время к эконометрике, применяются в российской экономике ещё со средины прошлого века

2.Чем исторически обосновывается актуальность эконометрики?
Актуальность эконометрики иллюстрирует историческая справка о присуждении ряда Нобелевских премий за научные разработки по соответствующему профилю:

1969-Рагнар Фриш (Frisch, норвежский экономист, исследовал модели роста экономики, годы жизни: 1895-1973) и Ян Тинберген (Tinbergen, нидерландский экономист-специалист по теории экономического развития, 1903 г.р.)-«за создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов»;
1980-Лоуренс Клейн (Klein, американский экономист);
1989-Трюгве Хаавельмо (Haavelmo, норвежский экономист);
2000-Джеймс Хекман, Дэниел Макфадден (Heekman, McFadden, амер.эк-ты)

3. Какова общая характеристика современной эконометрики?
Общая характеристика эконометрики такова – это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов с помощью математических и статистистических моделей и методов. И практическая значимость расширения приложений эконометрики неуклонно нарастает из-за непрерывного развития и повсеместного распространения вычислительной техники…

Тема 1. Предмет изучения дисциплины «эконометрика», ее место в экономике

4. Какое место в экономическом образовании занимает дисциплина «эконометрика»?
«Эконометрику» наряду с микро- и макроэкономикой в настоящее время относят к числу базовых дисциплин экономического образования, считают их основой экономической теории. Причём, методы эконометрики применяются и в рамках микро- и макроэкономики.

5. Как появился термин «эконометрика», как он трактовался изначально (широко, узко)?
Термин «эконометрика» впервые был введен в 1926 г. норвежским учёным Рагнаром Фришем. Изначально широкая трактовка термина предполагала «измерения, то есть любые количественные методы, в экономике», узкая – экономические приложения математико-статистических моделей и методов.

6. Как характеризовали эконометрику разные специалисты в период становления дисциплины?
статистик С.Фишер представлял её как раздел экономики, связанный с применением статистических методов для характеристики взаимосвязей между экономическими показателями
По Л.Клейну основная задача эконометрики – наполнить эмпирическим (основанным на опыте) содержанием априорные экономические рассуждения
Э. Маленво утверждал, что цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов

7. Какие научные дисциплины определили появление эконометрики? Чем обусловлено её обособление в рамках экономики?
в прошлом веке в рамках экономики появилась обособленная дисциплина на стыке дисциплин
«экономическая статистика»,
«экономическая теория»,
«теория вероятностей и математическая статистика»

Эконометрические модели зависимостей между показателями наряду с оценкой ожидаемых ошибок применимы при исследованиях макро- и микроэкономических систем

для прогнозирования (численного),
в виде модельных блоков (для имитации) в рамках сложных модельных комплексов,
а также применяемых при выборе и количественном обосновании управленческих решений (для интерпретации),
для поиска наиболее выгодных решений (для оптимизации).

8. Каким образом и параллельно с какими видами моделирования в экономике применяется эконометрическое моделирование в современных условиях?
В рамках экономико-математического моделирования традиционно выделяют параллельно применяемые виды: оптимизационное, имитационное, балансовое (модели математической экономики). Эконометрика представляет основу осуществления сложного моделирования всех указанных видов.

9. Как принято определять понятие «эконометрика» в наше время?
«Эконометрика-это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории,экономической статистики, математико-статистического инструментария придавать количественное выражение общим (качественным)
закономерностям, обусловленным экономической теорией» (см.[4, с.598]).

10. Что выступает предметом изучения эконометрики?
Предметом изучения эконометрики выступают социально-экономические системы (объекты, явления) в их элементарных проявлениях. То есть, прежде всего, в форме зависимостей между экономическими показателями (в частности, одного показателя от одного или нескольких других, включая предполагаемую ошибку из-за отсутствия данных о нужных показателях или вследствие стохастичности).

11. Какие методы, в первую очередь, определяют содержание эконометрики?
В первую очередь, содержание эконометрики определяют методы выявления функциональных зависимостей одного показателя от других.
Во вторых, это методы анализа указанного вида зависимостей, оценок соответствующих погрешностей.

12. В чем основная цель практических приложений эконометрики и чем стимулируется её развитие?
Основная цель практических приложений эконометрики – обеспечение возможности совмещения конструктивной сущности ряда принципиально различных дисциплин: экономики, математики, информатики. Свободная рыночная конкуренция диктует необходимость расширять приложения эконометрики

Тема 2. Общая характеристика эконометрического моделирования

2.1. В чём основная цель применения эконометрической модели о связи между показателями? Имеются разные экономические показатели, потенциально управляемые непосредственно и опосредованно. Основная цель применения эконометрической модели – обеспечить на основании накопленных данных прогнозирование значений зависимой переменной (объясняемой, опосредованно управляемой) при определённых значениях других переменных (объясняющих, непосредственно управляемых). Причём, параллельно с оценкой ожидаемой погрешности прогнозов.

2.2. Какова роль теории вероятностей, математической статистики в эконометрике?
Эконометрическое моделирование предусматривает оперирование понятием «вероятность», предполагая идеализацию – отвлечение от измерительных погрешностей, допуская потенциальную многократную повторяемость. Это позволяет «сворачивать» таблицы данных, выявлять эконометрические зависимости параллельно с оценками ожидаемых отклонений при их применении и использовать эту форму для прогнозирования, имитации, интерпретации, оптимизации.

2.3. Каков специальный математический смысл термина «регрессия», что является регрессией в статистическом смысле?
Специальный математический смысл термина «регрессия» – это зависимость среднего значения какой-либо величины от одной или нескольких других величин. Если при значении «объясняющей» переменной х=хi наблюдается m значений у i1 , у i2 ,…, у im «объясняемой» переменной у, то зависимость математического ожидания
у i* = (у i1 + у i2 +…+ у im)/m
от хi является регрессией в статистическом понимании этого термина.

2.4. Как принято интерпретировать понятие «парная регрессия»?
Понятие «парная регрессия», рассматриваемое в рамках специальных дисциплин, таких как теория вероятностей, математическая статистика, эконометрика. По существу, регрессия величины У по величине Х определяется условным математическим ожиданием У при условии, что Х=х: E(Y|Х=х) = у(х).
Эконометрическая модель принимает вид:
Y = E(Y|Х=х) + ε,
ε – возмущение (ошибка).

2.5. Как принято интерпретировать понятие «парная регрессия»?
Точность, с которой уравнение регрессии величины Y по величине X отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х=х:
D(Y|X=х) = σ2(х).
«Регрессия» обладает следующим важным свойством: среди всех действительных функций у = у(х) минимум мат.ожидания E(Y- у(х))2
достигается для функции у(х)= E(Y|Х=х), то есть регрессия величины Y по величине X дает наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X.

2.6. Как связаны детерминированная и случайная величины в рамках модели парной линейной регрессии?
Типовые ситуации приложений модели парной линейной регрессии для пространственных данных («cross-sectional data») определяют гипотезы:
1. Y i=a+b·X i+εi, i=1,…,n.
2. X i детерминированная величина; вектор [X1,…,X n], неколлинеарен вектору [1,…,1].
3а. E(εi) = 0, E(εi2) = V(εi) = σ2 – не зависит от i (i=1,…,n).
3b. E(εjεi) = 0 при j ≠i (некореллированность ошибок при разных наблюдениях).
3c. εi~ N(0, σ2), то есть εi– нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией σ2.

2.7. В чём специфика эконометрической модели временных рядов?
В моделях временных рядов (для «time-series data» – упорядоченных по времени данных) в аддитивной форме y= f1(x1,…,xk,t,β11, …,β1p)+ f2(x1,…,xk, t,β21, …,β2q)+εt увязывают с независимыми (объясняющими) переменными дважды, выделяя так называемые «тренд» (f1) и «сезонность»( f2). Здесь εt – случайная компонента, зависящая от времени t. Мультипликативная форма аналогична y= f1(x1,…,xk,t,β11, …,β1p)⋅ f2(x1,…,xk,t,β21, …,β2q) +εt. Причем сезонность может включать ряд составляющих (недельную, ежемесячную, годовую тенденции).

2.8. Что собой представляет эконометрическая модель «система одновременных уравнений»?
Обобщением понятия регрессионная модель выступает модель в форме системы одновременных уравнений. Принципиальное отличие в том, что рассматриваются несколько (конечное множество) регрессионных моделей в совокупности. При этом актуально одни и те же переменные рассматривать за ряд периодов обособленно (например, с так называемым «лагом»-запаздыванием).

2.9. Каковы основные этапы эконометрического моделирования?
Основные этапы вероятностно-статистического моделирования:
постановочный, включает определение набора факторов, подразделение их на объясняющие (входные переменные) и объяснимые (выходные показатели);
априорный, выбор связей между показателями;
информационно-статистический, сбор информации по объясняющим факторам;
спецификация модели, выявление структурных характеристик модели;
идентификация модели, подбор значений параметров модели;
верификация модели, проверка адекватности прогнозов по модельным решениям результатам применения модельных решений на практике

Тема 3. Метод наименьших квадратов (МНК) для парной линейной регрессии

Рассмотрим задачу регрессионного анализа: будем восстанавливать линейную регрессионную зависимость величины Y от величины X в форме
Y=a+b·X+ε,
ε-случайная величина, соответствующая ожидаемой ошибке

Воспользуемся данными {Y i,X i, i=1,…,n} по проявлениям выявляемой зависимости в аналогичных условиях (при n ≥ 2).

Значения параметров функции a, b, найдем, минимизируя «видимые» ошибки-отклонения «прогнозов по функции» от «факта» – по методу наименьших квадратов (МНК):
min ∑ (a+b·X i – Y i)^2
a,b i=1,…,n

Согласно необходимому условию экстремума приравняем частные производные нулю, получим два уравнения:
∑ [2⋅(a+b·X i – Y i)⋅X i] = 0,
i=1,…, n
∑ [2⋅(a+b·X i – Y i)] = 0
i=1,…, n

Откуда следует в общем случае, что
b = (n⋅∑ X i⋅Y i – (∑ X i) ⋅ (∑Y i)) /
(n⋅∑ (X i)^2 – (∑ X i)^2),
a = Y 0 – b ⋅ X 0,
где
X 0=(1/ n) ⋅∑ X i , Y 0=(1/ n) ⋅∑ Y i .

Если рассмотреть отклонения от средних хi= Xi-X 0, уi= Y i-Y0, то нетрудно убедиться, что средние величины для новых величин равны нулю. Тангенс угла наклона при этом не меняется, а значит можно пользоваться следующими формулами для расчета коэффициентов (параметров парной линейной регрессионной модели)

b = ∑ (X j – X 0) ⋅ (Y j – Y 0)/ ∑ (X j – X 0)^2,
a = Y 0 – b ⋅ X 0

Упражнение (контрольное задание) № 1 (см.[3, с.41, Упр. 2.9]).
Пусть имеется таблица данных двух показателей (Y,X), требуется восстановить зависимость между ними в форме линейной модели регрессии 4-мя способами. Интерпретируя Y,X как «объем сбыта» и «цена», соответственно, выявить оптимальную цену для максимизации дохода, оценить границы варьирования опосредованно управляемого сбыта (оценить ожидаемые вариации и дохода при оптимальной цене).

Здесь и ниже, N1,N2 - параметры контрольных заданий, соответствующие номеру по списку в журнале группы (цифры, равные количеству десятков и количеству единиц в номере, соответственно).

1)1-ый способ

2)2-ой способ

2)2-ый способ

Если раздел меню «Сервис/Анализ данных…» не нашёлся, то открываем (инициируем выполнение команды меню) «Сервис/Надстройки…»…
3)3-ий способ

…и подключаем «Пакет анализа» (устанавливаем соответствующую «галочку»)…

4)4-ый способ

5)оптимизация

6) Заметим, что соответствующую эконометрическю модель принято записывать, в частности, следующим образом (применяя одинаковый способ округления):

Для выполнения индивидуального варианта задания требуется:
скопировать лист Excel, рассмотренный выше;
внести изменения согласно инд.варианту в ячейках С2, С11, B11
возобновить процессы согласно п.3-6

Тема 4. МНК для множественной линейной регрессии

Рассмотрим задачу множественного регрессионного анализа: будем восстанавливать линейную регрессионную зависимость величины Y от величин X1, X2, … , Xn в форме
Y = b0 + b1·X1 + b2·X2 +…+ bn·Xn + ε,
где ε-случайная величина, соответствующая ожидаемой ошибке

Воспользуемся данными {Yi, Xi1, Xi2, … , Xin, i=1,…,m} по проявлениям выявляемой зависимости в аналогичных условиях (при m ≥ n).

Значения параметров функции b0 , b1, b2 ,…, bn найдем, минимизируя «видимые» ошибки-отклонения «прогнозов по функции» от «факта» – по методу наименьших квадратов (МНК):
min ∑ (b0 + ∑ bj·X ij – Y i)^2
b0 ,b1,…,bn i=1,…,m j=1,…,n

Упражнение (контрольное задание) № 2 (см.[3, с.63, Упр. 3.5]).
Пусть имеется таблица данных трёх показателей S,Y,W(Y,X1,X2) следующего вида

Требуется восстановить зависимость между этими показателями в форме модели линейной регрессии двумя способами. Спрогнозировать значение S при заданных значениях Y=40,W=25 в тех же единицах измерения, что и в таблице.

1)1-ый способ

2)2-ой способ

Второй способ прогнозирования
B7:=b26+b27*c7+b28*d7
Оценка погрешности-в b16